Esboce o gráfico e decida se a função é Injetora
a)
b)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Queremos desenhar o gráfico de duas funções e descobrir se cada uma delas é injetora. Isso envolve entender o que significa uma função ser injetora e como analisar o comportamento dos gráficos dessas funções.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:  .
  • O que é uma função injetora?
    Uma função é injetora se cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada. Em termos simples, se você nunca tiver dois diferentes que dão o mesmo , a função é injetora.
  • Como analisar a injetividade?
    Podemos usar o cálculo para verificar a derivada e ver se a função é sempre crescente ou sempre decrescente. Se for, então é injetora.
  • Calculando a derivada de :
  • Analisando a derivada:
    Vamos ver onde :
    Isso mostra que a derivada muda de sinal nesses pontos, o que indica que a função não é sempre crescente nem sempre decrescente. Portanto, não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda função:  .
  • Relembrando o que é injetora:
    Cada saída tem um único valor de entrada.
  • Calculando a derivada de :
  • Analisando a derivada:
    Observamos que é sempre positiva porque é sempre não negativo e adicionamos 1. Isso significa que a função é sempre crescente.
    Como a função é estritamente crescente em todo o seu domínio, não há dois diferentes que dão o mesmo . Portanto, a função é injetora.

Resposta

a) A função não é injetora porque não é sempre crescente ou decrescente.
b) A função é injetora pois é estritamente crescente em todo o seu domínio.

Exercícios relacionados

Calcule o limite, se existir.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Para qual valor de a função definida por

é contínua em .
Calcular
Mostre que é contínua em .
a)
b)