Esboce o gráfico e decida se a função é Injetora
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. Queremos desenhar o gráfico de duas funções e descobrir se cada uma delas é injetora. Isso envolve entender o que significa uma função ser injetora e como analisar o comportamento dos gráficos dessas funções.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
.
-
O que é uma função injetora?
Uma função é injetora se cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada. Em termos simples, se você nunca tiver doisdiferentes que dão o mesmo , a função é injetora. -
Como analisar a injetividade?
Podemos usar o cálculo para verificar a derivada e ver se a função é sempre crescente ou sempre decrescente. Se for, então é injetora. -
Calculando a derivada de
: -
Analisando a derivada:
Vamos ver onde: Isso mostra que a derivada muda de sinal nesses pontos, o que indica que a função não é sempre crescente nem sempre decrescente. Portanto, não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda função:
.
-
Relembrando o que é injetora:
Cada saída tem um único valor de entrada. -
Calculando a derivada de
: -
Analisando a derivada:
Observamos queé sempre positiva porque é sempre não negativo e adicionamos 1. Isso significa que a função é sempre crescente. Como a função é estritamente crescente em todo o seu domínio, não há doisdiferentes que dão o mesmo . Portanto, a função é injetora.
Resposta
a) A função
não é injetora porque não é sempre crescente ou decrescente.
b) A função
é injetora pois é estritamente crescente em todo o seu domínio.
Exercícios relacionados
Calcule o limite, se existir.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Para qual valor de
a função
definida por
é contínua em .
é contínua em
Calcular
Mostre que
é contínua em
.
a)
b)
a)
b)