Mostre que é contínua em .
a)
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função é contínua em todo o conjunto dos números reais, ou seja, em . A gente vai trabalhar com funções definidas por partes, e para isso precisamos entender sobre continuidade de funções e como verificar se uma função é contínua em todos os seus pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Isso precisa ser válido para todo ponto no domínio da função.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira parte do exercício:
a)
Aqui, temos uma função definida por duas expressões diferentes, dependendo do valor de . Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua em todos os .

Passo 4

Para funções definidas por partes, a continuidade em todo o domínio depende da continuidade nas áreas onde a função muda de expressão. No caso, a mudança ocorre em . Então, precisamos verificar:
  1. Se é contínua para .
  2. Se é contínua para .
  3. Se a função é contínua em .

Passo 5

Primeiro, para , . Sabemos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, então é contínuo para todo .

Passo 6

Para , . A função raiz quadrada também é contínua para todo , e como estamos considerando , não temos problema de continuidade aqui.

Passo 7

Agora, precisamos verificar a continuidade em . Vamos calcular os limites pela esquerda e pela direita e ver se eles são iguais ao valor de .
E .

Passo 8

Como os limites pela esquerda e pela direita em são iguais e também iguais ao valor de , a função é contínua em . Já verificamos que é contínua nas outras partes, então concluímos que é contínua em todo .

Passo 9

Agora, vamos para a segunda parte do exercício:
b)
Novamente, temos uma função definida por duas expressões, com a mudança ocorrendo em .

Passo 10

Vamos seguir os mesmos passos:
  1. Verificar a continuidade para .
  2. Verificar a continuidade para .
  3. Verificar a continuidade em .

Passo 11

Para , . A função seno é contínua para todo , então está tudo certo nessa parte.

Passo 12

Para , . A função cosseno também é contínua para todo , então essa parte também é contínua.

Passo 13

Agora, vamos verificar a continuidade em :
E .

Passo 14

Como os limites pela esquerda e pela direita em são iguais e também iguais ao valor de , a função é contínua em . Como já verificamos as outras partes, concluímos que é contínua em todo .

Resposta

Ambas as funções definidas nas partes a) e b) são contínuas em todo o conjunto dos números reais, ou seja, em .

Exercícios relacionados

Calcular
Esboce o gráfico e decida se a função é Injetora
a)
b)
Encontre os pontos nos quais é descontínua.
a)
b) R:
c) R:
Determine se a função
é contínua em .