Mostre que
é contínua em
.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função
é contínua em todo o conjunto dos números reais, ou seja, em
. A gente vai trabalhar com funções definidas por partes, e para isso precisamos entender sobre continuidade de funções e como verificar se uma função é contínua em todos os seus pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto
se o limite quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Isso precisa ser válido para todo ponto
no domínio da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira parte do exercício:
a)
Aqui, temos uma função definida por duas expressões diferentes, dependendo do valor de
. Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua em todos os
.
Passo 4
Para funções definidas por partes, a continuidade em todo o domínio depende da continuidade nas áreas onde a função muda de expressão. No caso, a mudança ocorre em
. Então, precisamos verificar:
- Se
é contínua para . - Se
é contínua para . - Se a função é contínua em
.
Passo 5
Primeiro, para
,
. Sabemos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, então
é contínuo para todo
.
Passo 6
Para
,
. A função raiz quadrada também é contínua para todo
, e como estamos considerando
, não temos problema de continuidade aqui.
Passo 7
Agora, precisamos verificar a continuidade em
. Vamos calcular os limites pela esquerda e pela direita e ver se eles são iguais ao valor de
.
E
.
Passo 8
Como os limites pela esquerda e pela direita em
são iguais e também iguais ao valor de
, a função é contínua em
. Já verificamos que é contínua nas outras partes, então concluímos que
é contínua em todo
.
Passo 9
Agora, vamos para a segunda parte do exercício:
b)
Novamente, temos uma função definida por duas expressões, com a mudança ocorrendo em
.
Passo 10
Vamos seguir os mesmos passos:
- Verificar a continuidade para
. - Verificar a continuidade para
. - Verificar a continuidade em
.
Passo 11
Para
,
. A função seno é contínua para todo
, então está tudo certo nessa parte.
Passo 12
Para
,
. A função cosseno também é contínua para todo
, então essa parte também é contínua.
Passo 13
Agora, vamos verificar a continuidade em
:
E
.
Passo 14
Como os limites pela esquerda e pela direita em
são iguais e também iguais ao valor de
, a função é contínua em
. Como já verificamos as outras partes, concluímos que
é contínua em todo
.
Resposta
Ambas as funções definidas nas partes a) e b) são contínuas em todo o conjunto dos números reais, ou seja, em
.