Calcular: lim x 0 1-sec (x)x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx 0 1 - sec(x)x^2. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer o comportamento da função sec(x) perto de zero e saber manipular expressões algébricas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sec(x) é o inverso do cosseno, ou seja, sec(x) = 1cos(x). Vamos substituir isso na expressão original:
1 - sec(x)x^2 = 1 - 1cos(x)x^2 = cos(x) - 1x^2cos(x)

Passo 3

Agora, observamos que temos uma expressão no numerador que é cos(x) - 1. Sabemos que quando x se aproxima de 0, cos(x) se aproxima de 1, então a diferença cos(x) - 1 se aproxima de 0. Para lidar com essa situação, podemos usar a expansão em série de Taylor para cos(x) em torno de 0:
cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots

Passo 4

Vamos usar a aproximação da série de Taylor até o termo x^2, já que estamos dividindo por x^2 e os termos de ordem superior vão desaparecer no limite:
cos(x) approx 1 - x^22
Portanto,
cos(x) - 1 approx -x^22

Passo 5

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original:
cos(x) - 1x^2cos(x) approx -x^22x^2cos(x) = -12cos(x)

Passo 6

Agora, sabemos que quando x tende a 0, cos(x) tende a 1. Portanto:
-12cos(x) approx -121 = -12

Resposta

O limite é igual a -12.

Exercícios relacionados