Calcular:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer o comportamento da função perto de zero e saber manipular expressões algébricas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o inverso do cosseno, ou seja, . Vamos substituir isso na expressão original:

Passo 3

Agora, observamos que temos uma expressão no numerador que é . Sabemos que quando se aproxima de 0, se aproxima de 1, então a diferença se aproxima de 0. Para lidar com essa situação, podemos usar a expansão em série de Taylor para em torno de 0:

Passo 4

Vamos usar a aproximação da série de Taylor até o termo , já que estamos dividindo por e os termos de ordem superior vão desaparecer no limite:
Portanto,

Passo 5

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original:

Passo 6

Agora, sabemos que quando tende a 0, tende a 1. Portanto:

Resposta

O limite é igual a .

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