Calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer o comportamento da função
perto de zero e saber manipular expressões algébricas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o inverso do cosseno, ou seja,
. Vamos substituir isso na expressão original:
Passo 3
Agora, observamos que temos uma expressão no numerador que é
. Sabemos que quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1, então a diferença
se aproxima de 0. Para lidar com essa situação, podemos usar a expansão em série de Taylor para
em torno de 0:
Passo 4
Vamos usar a aproximação da série de Taylor até o termo
, já que estamos dividindo por
e os termos de ordem superior vão desaparecer no limite:
Portanto,
Passo 5
Substituindo essa aproximação na nossa expressão original:
Passo 6
Agora, sabemos que quando
tende a 0,
tende a 1. Portanto:
Resposta
O limite é igual a
.
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Calcule os limites laterais de
, sendo:
Verificar, através da definição, a continuidade ou descontinuidade
da função: