Resolva as inequações no domínio dos números reais e expresse suas soluções em notação de intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
juntos. Essa questão envolve valores absolutos, um conceito fundamental na matemática que nos ajuda a lidar com números positivos e negativos. Para resolver essa inequação, vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como manipular inequações envolvendo ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de
, representado por
, é sempre não negativo. Isso significa que
para qualquer número real
.
Passo 3
Agora, observamos a inequação
. Vamos tentar isolar o
para entender melhor a relação entre os termos. Subtraindo 1 dos dois lados da inequação, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos analisar essa inequação. Sabemos que
é sempre não negativo, então o lado direito da inequação
também precisa ser positivo para que a desigualdade faça sentido. Isso nos leva à seguinte condição:
Passo 5
Agora, temos que considerar os dois casos possíveis para
: quando
é positivo (
) e quando
é negativo (
).
Caso 1:
Nesse caso,
. Substituindo na inequação original:
Subtraindo
dos dois lados:
Isso é falso, ou seja, não existe
que satisfaça a inequação.
Caso 2:
Aqui,
. Substituindo na inequação:
Somando
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Mas lembrando que estamos considerando
, ou seja,
e
. Essas duas condições são compatíveis?
Passo 6
Não, pois
é um número positivo e
está restrito a ser menor que 0. Portanto, não existem valores de
que satisfaçam ambas as condições simultaneamente.
Resposta
A solução da inequação
no conjunto dos números reais é o conjunto vazio, representado por: