Verificar, através da definição, a continuidade ou descontinuidade
da função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é contínua ou descontínua no ponto
. Isso está dentro do assunto de Continuidade de Funções. Para resolver, vamos precisar calcular os limites laterais da função quando
se aproxima de -1 e comparar com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando
se aproxima de -1 vindo dos valores menores que -1. Nessa região, a função está definida por:
Vamos substituir
nessa expressão:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que sugere que o limite tende ao infinito. Mas precisamos observar de qual lado o denominador está se aproximando de zero. Como
está vindo da esquerda (menor que -1),
está se aproximando de zero por valores negativos. Portanto:
Então, o limite pela esquerda é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando
se aproxima de -1 vindo dos valores maiores ou iguais a -1. Nessa região, a função está definida por:
Vamos substituir
:
Então, o limite pela direita é
.
Passo 4
Vamos agora comparar os limites que calculamos:
Além disso, o valor da função em
é:
Para a função ser contínua em
, os dois limites laterais devem existir e ser iguais, e também devem ser iguais ao valor da função nesse ponto.
Resposta
Como os limites laterais não são iguais (
), a função
é descontínua no ponto
.