Verificar, através da definição, a continuidade ou descontinuidade e * m * x = -1 da função: f(x) = { (x^3 - 1) / (x + 1), se x < -1; x^2 - 3, se x ≥ -1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é contínua ou descontínua no ponto . Isso está dentro do assunto de Continuidade de Funções. Para resolver, vamos precisar calcular os limites laterais da função quando se aproxima de -1 e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de -1 vindo dos valores menores que -1. Nessa região, a função está definida por:
Vamos substituir nessa expressão:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que sugere que o limite tende ao infinito. Mas precisamos observar de qual lado o denominador está se aproximando de zero. Como está vindo da esquerda (menor que -1), está se aproximando de zero por valores negativos. Portanto:
úó
Então, o limite pela esquerda é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando se aproxima de -1 vindo dos valores maiores ou iguais a -1. Nessa região, a função está definida por:
Vamos substituir :
Então, o limite pela direita é .

Passo 4

Vamos agora comparar os limites que calculamos:
Além disso, o valor da função em é:
Para a função ser contínua em , os dois limites laterais devem existir e ser iguais, e também devem ser iguais ao valor da função nesse ponto.

Resposta

Como os limites laterais não são iguais ( ), a função é descontínua no ponto .

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