Calcule os limites laterais de f(x) em x=-3 pi2, sendo:
f(x)=ll sec x2 x, & se x<-3 pi2 cotg x3-3 pi2, & se x >=-3 pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular os limites laterais da função quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui são os limites de funções e o comportamento de funções definidas por partes. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta à esquerda e à direita de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função f(x) = sec x2x, & se x < -3pi2 cot g x3 - 3pi2, & se x >= -3pi2 :
Nos limites laterais, analisamos o comportamento da função à esquerda ( ) e à direita ( ) do ponto de interesse.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda:
limx to -3pi2^- sec x2x
Sabemos que . Em , , o que faz com que seja indefinido ou tendendo ao infinito. Observando o gráfico da função cosseno, próximo a , passa de positivo para negativo, então vai de a . Considerando o denominador , que em é negativo, o limite tende para .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita:
limx to -3pi2^+ cot g x3 - 3pi2
Primeiro, simplificamos o denominador:
3 - 3pi2 = 6 - 3pi2
Então, a expressão fica:
cot g x6 - 3pi2 = 2 cot g x6 - 3pi = 2 cot g x3(2 - pi)
Sabemos que . Em , tende a e tende a 0. Portanto, tende a 0. Multiplicando por uma constante, o limite total também tende a 0.

Resposta

Os limites laterais de limx to -3pi2^- f(x) = +infty em limx to -3pi2^+ f(x) = 0 são:
e

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