Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados.
a) .
b)
c)
d)
e) .
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial definida de forma diferente para e . Precisamos calcular o limite dessa função nos pontos e e analisar se a função é contínua nesses pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções vetoriais e o conceito de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite da função quando se aproxima de 0. A função dada é:
Para , substituímos :
Então, .
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0:
Para próximo de 0, , então . Substituindo:
Portanto:
Passo 4
Comparando o limite com o valor da função em :
Como o limite existe e é igual ao valor da função em , a função é contínua em .
Passo 5
Agora, vamos analisar o ponto .
Primeiro, tentamos calcular o limite da função quando se aproxima de 3:
Vamos analisar os limites laterais:
Para (aproximando-se de 3 pela esquerda):
Então:
Para (aproximando-se de 3 pela direita):
Então:
Passo 6
Observamos que os limites laterais são diferentes:
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral em não existe.
Além disso, o valor da função em é , que não coincide com nenhum dos limites laterais.