Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados.
a)
.
b)
c)
d)
e) .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial definida de forma diferente para e . Precisamos calcular o limite dessa função nos pontos e e analisar se a função é contínua nesses pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções vetoriais e o conceito de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite da função quando se aproxima de 0. A função dada é:
Para , substituímos :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0:
Para próximo de 0, , então . Substituindo:
Portanto:

Passo 4

Comparando o limite com o valor da função em :
Como o limite existe e é igual ao valor da função em , a função é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos analisar o ponto .
Primeiro, tentamos calcular o limite da função quando se aproxima de 3:
Vamos analisar os limites laterais:
  • Para (aproximando-se de 3 pela esquerda):
Então:
  • Para (aproximando-se de 3 pela direita):
Então:

Passo 6

Observamos que os limites laterais são diferentes:
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral em não existe.
Além disso, o valor da função em é , que não coincide com nenhum dos limites laterais.
Portanto, a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em e descontínua em .

Exercícios relacionados

Seja e . Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
a)
b) .
Seja
Culcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Se é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula perpendicular a .
a)
b) .
Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:
a) em
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) .