Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados.
a) barf(t)=l|t-3|t-3 i+t^2 j, t neq 3 0, t=3
em t=0 e t=3.
b) dotf(t)=lt cdot sen 1t i+cos t j, t neq 0 j, t=0 ; t=0
c) f(t)=llt t+raizt+2-raiz2t j, & t neq 0 raiz2 j & , t=0 ; t=0
d) f(t)=sen t i-cos t j+k ; t=0
e) f(t)=l2t-1 i+4t-2 j-5 k, t neq 1 e t neq 2 0, t=1 e t=2.
em t=1 e t=2

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial definida de forma diferente para e . Precisamos calcular o limite dessa função nos pontos e e analisar se a função é contínua nesses pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções vetoriais e o conceito de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite da função quando barf(t) = |t-3|t-3 i + t^2 j, & t neq 3 0, & t = 3 se aproxima de 0. A função dada é:
barf(0) = |0-3|0-3 i + 0^2 j = 3-3 i + 0 j = -1 i + 0 j
Para , substituímos :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando limt to 0 barf(t) = limt to 0 ( |t-3|t-3 i + t^2 j ) se aproxima de 0:
3 - tt - 3 = -(t - 3)t - 3 = -1
Para limt to 0 barf(t) = -1 i + 0 j = (-1, 0) próximo de 0, , então . Substituindo:
Portanto:

Passo 4

Comparando o limite com o valor da função em limt to 0 barf(t) = (-1, 0) = barf(0) :
Como o limite existe e é igual ao valor da função em , a função é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos analisar o ponto limt to 3 barf(t) = limt to 3 ( |t-3|t-3 i + t^2 j ) .
Primeiro, tentamos calcular o limite da função quando t - 3 < 0 Rightarrow |t-3| = 3 - t se aproxima de 3:
3 - tt - 3 = -1
Vamos analisar os limites laterais:
  • Para limt to 3^- barf(t) = -1 i + 9 j (aproximando-se de 3 pela esquerda):
t - 3 > 0 Rightarrow |t-3| = t - 3
t - 3t - 3 = 1
Então:
limt to 3^+ barf(t) = 1 i + 9 j
  • Para (aproximando-se de 3 pela direita):
Então:

Passo 6

Observamos que os limites laterais são diferentes:
limt to 3^- barf(t) neq limt to 3^+ barf(t)
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral em não existe.
Além disso, o valor da função em é , que não coincide com nenhum dos limites laterais.
Portanto, a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em e descontínua em .

Exercícios relacionados