Se é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula perpendicular a .
a)
b) .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos a posição de uma partícula dada por e queremos mostrar que a velocidade da partícula é perpendicular a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, .
Passo 3
Sabemos também que a aceleração é a derivada da velocidade, então . No enunciado, a aceleração é dada para duas situações diferentes:
a)
b)
Passo 4
Vamos resolver o item a) primeiro. Precisamos encontrar a partir da aceleração.
Passo 5
Integramos a aceleração para encontrar a velocidade:
Como não temos informações sobre as constantes de integração e , podemos considerar que elas são zero para simplificar.
Passo 6
Então, para o item a),
Passo 7
Agora, vamos mostrar que é perpendicular a . Para isso, o produto escalar entre os dois vetores deve ser zero:
Passo 8
Mas para calcular isso, precisamos da expressão de . Sabemos que , então podemos integrar novamente para encontrar :
Novamente, assumimos para simplificar:
Passo 9
Agora, calculamos o produto escalar:
Então, é perpendicular a no item a).
Passo 10
Agora, vamos resolver o item b) seguindo os mesmos passos.
Passo 11
Integramos a aceleração para obter a velocidade:
Considerando :
Passo 12
Integramos novamente para encontrar :
Assumindo :
Passo 13
Calculamos o produto escalar:
Portanto, é perpendicular a no item b).
Resposta
A velocidade é perpendicular ao vetor posição nas duas situações apresentadas.