Se
é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula
perpendicular a
.
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos a posição de uma partícula dada por
e queremos mostrar que a velocidade
da partícula é perpendicular a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade
é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Sabemos também que a aceleração
é a derivada da velocidade, então
. No enunciado, a aceleração é dada para duas situações diferentes:
a)
b)
a)
b)
Passo 4
Vamos resolver o item a) primeiro. Precisamos encontrar
a partir da aceleração.
Passo 5
Integramos a aceleração para encontrar a velocidade:
Como não temos informações sobre as constantes de integração
e
, podemos considerar que elas são zero para simplificar.
Passo 6
Então, para o item a),
Passo 7
Agora, vamos mostrar que
é perpendicular a
. Para isso, o produto escalar entre os dois vetores deve ser zero:
Passo 8
Mas para calcular isso, precisamos da expressão de
. Sabemos que
, então podemos integrar novamente para encontrar
:
Novamente, assumimos
para simplificar:
Passo 9
Agora, calculamos o produto escalar:
Então,
é perpendicular a
no item a).
Passo 10
Agora, vamos resolver o item b) seguindo os mesmos passos.
Passo 11
Integramos a aceleração para obter a velocidade:
Considerando
:
Passo 12
Integramos novamente para encontrar
:
Assumindo
:
Passo 13
Calculamos o produto escalar:
Portanto,
é perpendicular a
no item b).
Resposta
A velocidade
é perpendicular ao vetor posição
nas duas situações apresentadas.