Se vec(r)(t) é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula E perpendicular a vec(r)(t).
a) ddot(r)(t) = (cos(t), sen(t))
b) ddot(r(t)) = (cos(3t), sen(3t)).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos a posição de uma partícula dada por e queremos mostrar que a velocidade da partícula é perpendicular a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 3

Sabemos também que a aceleração é a derivada da velocidade, então . No enunciado, a aceleração é dada para duas situações diferentes:
a)
b)

Passo 4

Vamos resolver o item a) primeiro. Precisamos encontrar a partir da aceleração.

Passo 5

Integramos a aceleração para encontrar a velocidade:
Como não temos informações sobre as constantes de integração e , podemos considerar que elas são zero para simplificar.

Passo 6

Então, para o item a),

Passo 7

Agora, vamos mostrar que é perpendicular a . Para isso, o produto escalar entre os dois vetores deve ser zero:

Passo 8

Mas para calcular isso, precisamos da expressão de . Sabemos que , então podemos integrar novamente para encontrar :
Novamente, assumimos para simplificar:

Passo 9

Agora, calculamos o produto escalar:
Então, é perpendicular a no item a).

Passo 10

Agora, vamos resolver o item b) seguindo os mesmos passos.

Passo 11

Integramos a aceleração para obter a velocidade:
Considerando :

Passo 12

Integramos novamente para encontrar :
Assumindo :

Passo 13

Calculamos o produto escalar:
Portanto, é perpendicular a no item b).

Resposta

A velocidade é perpendicular ao vetor posição nas duas situações apresentadas.

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