Seja e . Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
a)
b) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções: uma vetorial e uma função escalar . O objetivo é calcular dois limites à medida que se aproxima de 0:
a) O limite da função vetorial .
b) O limite do produto da função escalar com a função vetorial .
Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções vetoriais e como aplicar propriedades de limites em componentes individuais dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o item a): .
A função vetorial dada é:
Para encontrar o limite de uma função vetorial, calculamos o limite de cada componente separadamente.

Passo 3

Vamos calcular o limite de cada componente:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 4

Agora, juntando os limites de cada componente, temos:

Passo 5

Passando para o item b): .
Primeiro, vamos substituir na expressão:
Isso resulta em:

Passo 6

Vamos calcular o limite de cada componente:
  1. Componente :
Isso é um limite conhecido.
  1. Componente :
Esse limite tende ao infinito.
  1. Componente :
Também tende ao infinito.

Passo 7

Como pelo menos uma das componentes tende ao infinito, o limite geral da função vetorial não existe no sentido finito. Ou seja, o limite não existe.

Resposta

a)
b) O limite não existe.

Exercícios relacionados

Seja
Culcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Seja ;
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e) .
Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados.
a)
.
b)
c)
d)
e) .
Se é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula perpendicular a .
a)
b) .