Seja
e
. Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções: uma vetorial
e uma função escalar
. O objetivo é calcular dois limites à medida que
se aproxima de 0:
a) O limite da função vetorial .
b) O limite do produto da função escalar com a função vetorial
.
a) O limite da função vetorial
b) O limite do produto da função escalar
Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções vetoriais e como aplicar propriedades de limites em componentes individuais dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o item a):
.
A função vetorial dada é:
Para encontrar o limite de uma função vetorial, calculamos o limite de cada componente separadamente.
Passo 3
Vamos calcular o limite de cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 4
Agora, juntando os limites de cada componente, temos:
Passo 5
Passando para o item b):
.
Primeiro, vamos substituir
na expressão:
Isso resulta em:
Passo 6
Vamos calcular o limite de cada componente:
- Componente
:
Isso é um limite conhecido.
- Componente
:
Esse limite tende ao infinito.
- Componente
:
Também tende ao infinito.
Passo 7
Como pelo menos uma das componentes tende ao infinito, o limite geral da função vetorial não existe no sentido finito. Ou seja, o limite não existe.
Resposta
a)
b) O limite
não existe.