Seja e . Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
a)
b) .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções: uma vetorial e uma função escalar . O objetivo é calcular dois limites à medida que se aproxima de 0:
a) O limite da função vetorial .
b) O limite do produto da função escalar com a função vetorial .
Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções vetoriais e como aplicar propriedades de limites em componentes individuais dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o item a): .
A função vetorial dada é:
Para encontrar o limite de uma função vetorial, calculamos o limite de cada componente separadamente.
Passo 3
Vamos calcular o limite de cada componente:
Componente :
Componente :
Componente :
Passo 4
Agora, juntando os limites de cada componente, temos:
Passo 5
Passando para o item b): .
Primeiro, vamos substituir na expressão:
Isso resulta em:
Passo 6
Vamos calcular o limite de cada componente:
Componente :
Isso é um limite conhecido.
Componente :
Esse limite tende ao infinito.
Componente :
Também tende ao infinito.
Passo 7
Como pelo menos uma das componentes tende ao infinito, o limite geral da função vetorial não existe no sentido finito. Ou seja, o limite não existe.