Seja f(t)=sen t i+cos t j+2 k e h(t)=1 / t. Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
a) lim t 0 f(t)
b) lim t 0[h(t) cdot f(t)].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções: uma vetorial f(t) e uma função escalar h(t). O objetivo é calcular dois limites à medida que t se aproxima de 0:
a) O limite da função vetorial f(t).
b) O limite do produto da função escalar h(t) com a função vetorial f(t).
Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções vetoriais e como aplicar propriedades de limites em componentes individuais dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o item a): limt 0 f(t).
A função vetorial dada é:
f(t) = sen t , i + cos t , j + 2 , k
Para encontrar o limite de uma função vetorial, calculamos o limite de cada componente separadamente.

Passo 3

Vamos calcular o limite de cada componente:
  1. Componente i:
limt 0 sen t = sen 0 = 0
  1. Componente j:
limt 0 cos t = cos 0 = 1
  1. Componente k:
limt 0 2 = 2

Passo 4

Agora, juntando os limites de cada componente, temos:
limt 0 f(t) = 0 , i + 1 , j + 2 , k

Passo 5

Passando para o item b): limt 0 [h(t) cdot f(t)].
Primeiro, vamos substituir h(t) na expressão:
h(t) cdot f(t) = 1t ( sen t , i + cos t , j + 2 , k )
Isso resulta em:
sen tt , i + cos tt , j + 2t , k

Passo 6

Vamos calcular o limite de cada componente:
  1. Componente i:
limt 0 sen tt = 1
Isso é um limite conhecido.
  1. Componente j:
limt 0 cos tt = limt 0 1t = +infty
Esse limite tende ao infinito.
  1. Componente k:
limt 0 2t = +infty
Também tende ao infinito.

Passo 7

Como pelo menos uma das componentes tende ao infinito, o limite geral da função vetorial não existe no sentido finito. Ou seja, o limite não existe.

Resposta

a) limt 0 f(t) = 0 , i + 1 , j + 2 , k
b) O limite limt 0 [h(t) cdot f(t)] não existe.

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