Seja f(t)=t i+2 t^2 j+3 t^3 k e
g(t)=2 t i+j-3 t^2 k, t >= 0
Culcular:
a) lim t 1[f(t)+g(t)]
b) lim t +1[ddotf(t)-g(t)]
c) lim t 1[3 f(t)-12 g(t)]
d) lim t 1[f(t) cdot g(t)]
e) lim t 1[f(t) times g(t)]
f) lim t 1[(t+1) f(t)]
g) lim t 0[f(t) times g(t)]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos resolver aqui. Temos duas funções vetoriais:
f(t) = t i + 2 t^2 j + 3 t^3 k
g(t) = 2 t i + j - 3 t^2 k, t >= 0
Precisamos calcular vários limites envolvendo combinações dessas funções quando se aproxima de 1 ou 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções vetoriais, operações vetoriais como soma, subtração, produto escalar e produto vetorial, além de derivadas para algumas partes. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

a) f(t) + g(t) = (t + 2t) i + (2t^2 + 1) j + (3t^3 - 3t^2) k

O que faremos: Vamos somar as duas funções vetoriais e depois calcular o limite para f(t) + g(t) = 3t i + (2t^2 + 1) j + 3t^2(t - 1) k se aproximando de 1.
Soma das funções:
limt 1 3t = 3(1) = 3
Simplificando:
limt 1 (2t^2 + 1) = 2(1)^2 + 1 = 3
Calculando o limite:
Tomamos o limite de cada componente separadamente:
limt 1 3t^2(t - 1) = 3(1)^2(1 - 1) = 0
limt 1 [f(t) + g(t)] = 3 i + 3 j + 0 k = 3 i + 3 j
Portanto,

Passo 3

b) dotf(t) = ddt [t i + 2t^2 j + 3t^3 k] = i + 4t j + 9t^2 k

O que faremos: Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada de ddotf(t) = ddt [i + 4t j + 9t^2 k] = 0 i + 4 j + 18t k ( ddotf(t) - g(t) = (0 - 2t) i + (4 - 1) j + (18t - (-3t^2)) k ) e depois subtrair ddotf(t) - g(t) = -2t i + 3 j + (18t + 3t^2) k . Após isso, calculamos o limite para limt 1 (-2t) = -2(1) = -2 se aproximando de 1.
Calculando as derivadas:
Primeira derivada de limt 1 3 = 3 :
limt 1 (18t + 3t^2) = 18(1) + 3(1)^2 = 21
Segunda derivada de limt 1 [ddotf(t) - g(t)] = -2 i + 3 j + 21 k :
Subtraindo :
Simplificando:
Calculando o limite:
Então,

Passo 4

c) 3 f(t) = 3t i + 6t^2 j + 9t^3 k

O que faremos: Multiplicamos 12 g(t) = t i + 12 j - 32 t^2 k por 3, 3 f(t) - 12 g(t) = (3t - t) i + (6t^2 - 12) j + (9t^3 + 32 t^2) k por 3 f(t) - 12 g(t) = 2t i + (6t^2 - 12) j + (9t^3 + 32 t^2) k , subtraímos os resultados e depois calculamos o limite.
Multiplicações:
limt 1 2t = 2(1) = 2
limt 1 (6t^2 - 12) = 6(1)^2 - 12 = 5.5
Subtraindo:
limt 1 (9t^3 + 32 t^2) = 9(1)^3 + 32(1)^2 = 10.5
Simplificando:
limt 1 [ 3 f(t) - 12 g(t) ] = 2 i + 5.5 j + 10.5 k
Calculando o limite:
Portanto,

Passo 5

d) a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

O que faremos: Vamos calcular o produto escalar das duas funções vetoriais e depois determinar o limite.
Produto Escalar:
O produto escalar de dois vetores f(t) cdot g(t) = t cdot 2t + 2t^2 cdot 1 + 3t^3 cdot (-3t^2) e f(t) cdot g(t) = 2t^2 + 2t^2 - 9t^5 = 4t^2 - 9t^5 é:
limt 1 (4t^2 - 9t^5) = 4(1)^2 - 9(1)^5 = 4 - 9 = -5
Aplicando isso às nossas funções:
limt 1 [f(t) cdot g(t)] = -5
Simplificando:
Calculando o limite:
Então,

Passo 6

e) a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3

O que faremos: Calcularemos o produto vetorial das duas funções vetoriais e depois determinamos o limite.
Produto Vetorial:
O produto vetorial de dois vetores f(t) times g(t) = i & j & k t & 2t^2 & 3t^3 2t & 1 & -3t^2 e i (2t^2 cdot (-3t^2) - 3t^3 cdot 1) - j (t cdot (-3t^2) - 3t^3 cdot 2t) + k (t cdot 1 - 2t^2 cdot 2t) é dado por:
2t^2 cdot (-3t^2) - 3t^3 cdot 1 = -6t^4 - 3t^3 = -3t^3(2t + 1)
Aplicando às nossas funções:
t cdot (-3t^2) - 3t^3 cdot 2t = -3t^3 - 6t^4 = -3t^3(1 + 2t)
Calculando o determinante:
t cdot 1 - 2t^2 cdot 2t = t - 4t^3 = t(1 - 4t^2)
Simplificando cada termo:
  • Componente f(t) times g(t) = -3t^3(2t + 1) i + 3t^3(1 + 2t) j + t(1 - 4t^2) k :
limt 1 [-3t^3(2t + 1)] = -3(1)^3(2(1) + 1) = -9
  • Componente limt 1 [3t^3(1 + 2t)] = 3(1)^3(1 + 2(1)) = 9 :
limt 1 [t(1 - 4t^2)] = 1(1 - 4(1)^2) = -3
  • Componente limt 1 [f(t) times g(t)] = -9 i + 9 j - 3 k :
Então,
Calculando o limite:
Portanto,

Passo 7

f) (t + 1) f(t) = (t + 1)(t i + 2t^2 j + 3t^3 k) = (t(t + 1)) i + (2t^2(t + 1)) j + (3t^3(t + 1)) k

O que faremos: Vamos multiplicar a função escalar (t + 1) f(t) = (t^2 + t) i + (2t^3 + 2t^2) j + (3t^4 + 3t^3) k pela função vetorial limt 1 (t^2 + t) = 1^2 + 1 = 2 e depois calcular o limite.
Multiplicação escalar:
limt 1 (2t^3 + 2t^2) = 2(1)^3 + 2(1)^2 = 4
Simplificando:
limt 1 (3t^4 + 3t^3) = 3(1)^4 + 3(1)^3 = 6
Calculando o limite:
limt 1 [(t + 1) f(t)] = 2 i + 4 j + 6 k
Então,

Passo 8

g) f(t) times g(t) = -3t^3(2t + 1) i + 3t^3(1 + 2t) j + t(1 - 4t^2) k

O que faremos: Similar ao item e), vamos calcular o produto vetorial, mas agora para limt 0 [-3t^3(2t + 1)] = -3(0)^3(2(0) + 1) = 0 tendendo a 0.
Produto Vetorial:
Usando o resultado do item e):
limt 0 [3t^3(1 + 2t)] = 3(0)^3(1 + 2(0)) = 0
Calculando o limite:
limt 0 [t(1 - 4t^2)] = 0(1 - 4(0)^2) = 0
limt 0 [f(t) times g(t)] = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Portanto,

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

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