Seja
Culcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos resolver aqui. Temos duas funções vetoriais:
Precisamos calcular vários limites envolvendo combinações dessas funções quando se aproxima de 1 ou 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções vetoriais, operações vetoriais como soma, subtração, produto escalar e produto vetorial, além de derivadas para algumas partes. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

a)

O que faremos: Vamos somar as duas funções vetoriais e depois calcular o limite para se aproximando de 1.
Soma das funções:
Simplificando:
Calculando o limite:
Tomamos o limite de cada componente separadamente:
Portanto,

Passo 3

b)

O que faremos: Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada de ( ) e depois subtrair . Após isso, calculamos o limite para se aproximando de 1.
Calculando as derivadas:
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :
Subtraindo :
Simplificando:
Calculando o limite:
Então,

Passo 4

c)

O que faremos: Multiplicamos por 3, por , subtraímos os resultados e depois calculamos o limite.
Multiplicações:
Subtraindo:
Simplificando:
Calculando o limite:
Portanto,

Passo 5

d)

O que faremos: Vamos calcular o produto escalar das duas funções vetoriais e depois determinar o limite.
Produto Escalar:
O produto escalar de dois vetores e é:
Aplicando isso às nossas funções:
Simplificando:
Calculando o limite:
Então,

Passo 6

e)

O que faremos: Calcularemos o produto vetorial das duas funções vetoriais e depois determinamos o limite.
Produto Vetorial:
O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando às nossas funções:
Calculando o determinante:
Simplificando cada termo:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então,
Calculando o limite:
Portanto,

Passo 7

f)

O que faremos: Vamos multiplicar a função escalar pela função vetorial e depois calcular o limite.
Multiplicação escalar:
Simplificando:
Calculando o limite:
Então,

Passo 8

g)

O que faremos: Similar ao item e), vamos calcular o produto vetorial, mas agora para tendendo a 0.
Produto Vetorial:
Usando o resultado do item e):
Calculando o limite:
Portanto,

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

Exercícios relacionados

Seja ;
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e) .
Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
a)
b)
c)
d)
e)
f) .
Seja e . Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
a)
b) .
Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados.
a)
.
b)
c)
d)
e) .