Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos resolver aqui. Temos duas funções vetoriais:
Precisamos calcular vários limites envolvendo combinações dessas funções quando se aproxima de 1 ou 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções vetoriais, operações vetoriais como soma, subtração, produto escalar e produto vetorial, além de derivadas para algumas partes. Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
a)
O que faremos: Vamos somar as duas funções vetoriais e depois calcular o limite para se aproximando de 1.
Soma das funções:
Simplificando:
Calculando o limite:
Tomamos o limite de cada componente separadamente:
Portanto,
Passo 3
b)
O que faremos: Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada de () e depois subtrair . Após isso, calculamos o limite para se aproximando de 1.
Calculando as derivadas:
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :
Subtraindo :
Simplificando:
Calculando o limite:
Então,
Passo 4
c)
O que faremos: Multiplicamos por 3, por , subtraímos os resultados e depois calculamos o limite.
Multiplicações:
Subtraindo:
Simplificando:
Calculando o limite:
Portanto,
Passo 5
d)
O que faremos: Vamos calcular o produto escalar das duas funções vetoriais e depois determinar o limite.
Produto Escalar:
O produto escalar de dois vetores e é:
Aplicando isso às nossas funções:
Simplificando:
Calculando o limite:
Então,
Passo 6
e)
O que faremos: Calcularemos o produto vetorial das duas funções vetoriais e depois determinamos o limite.
Produto Vetorial:
O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando às nossas funções:
Calculando o determinante:
Simplificando cada termo:
Componente :
Componente :
Componente :
Então,
Calculando o limite:
Portanto,
Passo 7
f)
O que faremos: Vamos multiplicar a função escalar pela função vetorial e depois calcular o limite.
Multiplicação escalar:
Simplificando:
Calculando o limite:
Então,
Passo 8
g)
O que faremos: Similar ao item e), vamos calcular o produto vetorial, mas agora para tendendo a 0.