Calcular o limite e analisar a continuidade das funçöes vetoriais dadas, nos pontos indicados.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função vetorial dada no ponto e analisar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites, continuidade e funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função vetor que temos:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Para , a função tem componentes em e , e para , apenas na direção de .
Passo 3
Nosso objetivo é calcular o limite de quando se aproxima de 0 e depois comparar com o valor da função em para verificar a continuidade.
Primeiro, vamos calcular o limite:
Esse limite pode ser separado nas componentes e :
Passo 4
Agora, vamos focar no limite da componente :
Essa expressão está na forma indeterminada , então podemos usar a regra de L’Hôpital ou fazer uma expansão em série de Taylor para resolver. Vamos utilizar a derivada para simplificar.
Consideremos a função . A derivada de em é:
Portanto, usando a definição de derivada:
Passo 5
Agora que temos o limite da componente , podemos escrever o limite total da função vetorial:
Passo 6
Vamos comparar esse limite com o valor da função em :
Observamos que:
A componente no limite é 1, mas na função em não há componente (ou seja, é 0).
A componente no limite é , que é diferente de na função em .
Resposta
O limite da função vetorial quando se aproxima de 0 é:
Como esse limite é diferente de , a função não é contínua no ponto .