Questāo 4 (7 pts) : Determine os intervalos no qual a funçāo é crescente e/ou decrescente.
1

Passo 1

Então, bora resolver essa questão! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o cálculo, mais especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender o comportamento da função em relação ao aumento ou diminuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto. Se , a função está crescendo; se , está decrescendo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Podemos reescrever a função como para facilitar a aplicação da regra do produto e da regra da potência.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:

Passo 6

Vamos fatorar para simplificar a expressão:
Expandindo :
Então:

Passo 7

Queremos saber onde ou . Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.
O denominador é sempre positivo quando (ou seja, ), já que uma raiz quadrada de um número positivo é positiva e multiplicada por 2 continua positiva.
Portanto, o sinal de depende só do numerador .

Passo 8

Vamos resolver e .
Primeiro, igualamos a zero:
As soluções são e .

Passo 9

Dividimos a linha dos números em intervalos baseados nas raízes encontradas: , , e .
Vamos testar cada intervalo:
  1. Para :
    • Escolha :
  2. Para :
    • Escolha :
  3. Para :
    • Escolha :

Passo 10

Lembrando que o denominador é positivo para , mas nossa função só está definida para (porque temos uma raiz quadrada).
Então, os intervalos onde a função está crescendo são onde :
  • : Mas como , esse intervalo não existe dentro do domínio.
E a função está decrescendo onde :
  • , mas apenas a parte que está no domínio, ou seja,

Resposta

A função está:
  • Crescente para .
  • Decrescente para .

Exercícios relacionados

Questão 2 ( 12 pts : Encontre a derivada das funções abaixo.
a)
Calcular o limite e analisar a continuidade das funçöes vetoriais dadas, nos pontos indicados.
c)
Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido antihorário, a curva fechada dada pelas equações e .
Use o Teorema de Green para calcular , onde , onde é a fronteira do quadrado de vértices e .