Questāo 4 (7 pts) : Determine os intervalos no qual a funçāo
é crescente e/ou decrescente.
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Passo 1
Então, bora resolver essa questão! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o cálculo, mais especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender o comportamento da função em relação ao aumento ou diminuição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto. Se
, a função está crescendo; se
, está decrescendo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Podemos reescrever a função como
para facilitar a aplicação da regra do produto e da regra da potência.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:
Passo 6
Vamos fatorar
para simplificar a expressão:
Expandindo
:
Então:
Passo 7
Queremos saber onde
ou
. Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.
O denominador
é sempre positivo quando
(ou seja,
), já que uma raiz quadrada de um número positivo é positiva e multiplicada por 2 continua positiva.
Portanto, o sinal de
depende só do numerador
.
Passo 8
Vamos resolver
e
.
Primeiro, igualamos a zero:
As soluções são
e
.
Passo 9
Dividimos a linha dos números em intervalos baseados nas raízes encontradas:
,
, e
.
Vamos testar cada intervalo:
- Para
: - Escolha
:
- Escolha
- Para
: - Escolha
:
- Escolha
- Para
: - Escolha
:
- Escolha
Passo 10
Lembrando que o denominador é positivo para
, mas nossa função só está definida para
(porque temos uma raiz quadrada).
Então, os intervalos onde a função está crescendo são onde
:
-
: Mas como , esse intervalo não existe dentro do domínio. -
E a função está decrescendo onde
:
-
, mas apenas a parte que está no domínio, ou seja,
Resposta
A função
está:
- Crescente para
. - Decrescente para
.
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Questão 2 ( 12 pts
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a)
a)
Calcular o limite e analisar a continuidade das funçöes vetoriais dadas, nos pontos indicados.
c)
c)
Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças
sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido antihorário, a curva fechada dada pelas equações
e
.
Use o Teorema de Green para calcular
, onde
, onde
é a fronteira do quadrado de vértices
e
.