Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando (x, y) -> (0, 0). h(x, y) = x^2 / (x^2 - y)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar que a função não tem limite quando se aproxima de . Matéria envolvida: limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos considerar caminhos diferentes que chegam na origem e mostrar que os limites por esses caminhos são diferentes, o que implica que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho onde . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, se aproxima de 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar um caminho diferente. Vamos escolher . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, tende ao infinito.

Passo 4

Observamos que, pelo primeiro caminho, o limite foi 1, e pelo segundo caminho, o limite foi infinito. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe quando se aproxima de .

Resposta

A função não possui limite quando tende a .

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