Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar que a função não tem limite quando se aproxima de . Matéria envolvida: limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos considerar caminhos diferentes que chegam na origem e mostrar que os limites por esses caminhos são diferentes, o que implica que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho onde . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, se aproxima de 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar um caminho diferente. Vamos escolher . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, tende ao infinito.

Passo 4

Observamos que, pelo primeiro caminho, o limite foi 1, e pelo segundo caminho, o limite foi infinito. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe quando se aproxima de .

Resposta

A função não possui limite quando tende a .

Exercícios relacionados

Mostre que o limite não existe:
Verifique a continuidade da função no ponto indicado:
Calcular o limite e analisar a continuidade das funçöes vetoriais dadas, nos pontos indicados.
c)