Calcular o limite e analisar a continuidade das funçōes vetoriais dadas, nos pontos indicados.
d) f(t) = sen(t) i - cos(t) j + k ; t = 0 em t=1 e t=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função vetorial . A tarefa é calcular o limite dessa função nos pontos e e depois ver se a função é contínua nesses pontos. Para isso, vamos precisar entender sobre limites e continuidade de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1. Lembrando que o limite de uma função vetorial é calculado componente por componente. Ou seja, vamos calcular o limite de cada uma das funções escalares que formam a função vetorial.

Passo 3

Vamos calcular o limite da componente quando :
A função seno é contínua em todo o domínio, então o limite é simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da componente quando :
A função cosseno também é contínua, então o limite é .

Passo 5

Por fim, a componente constante não depende de , então:

Passo 6

Juntando tudo, o limite da função vetorial quando é:

Passo 7

Vamos repetir o mesmo processo para .

Passo 8

Limite da componente quando :

Passo 9

Limite da componente quando :

Passo 10

E a componente permanece:

Passo 11

Então, o limite da função vetorial quando é:

Passo 12

Agora, vamos analisar a continuidade. Uma função vetorial é contínua em um ponto se o limite naquele ponto for igual ao valor da função no próprio ponto.

Passo 13

Verificando em :
Como o limite quando é igual a , a função é contínua em .

Passo 14

Verificando em :
Novamente, o limite quando é igual a , então a função também é contínua em .

Resposta

A função vetorial possui limites em e iguais a e respectivamente. Além disso, a função é contínua nesses pontos.

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