Calcular o limite e analisar a continuidade das funçōes vetoriais dadas, nos pontos indicados.
d)
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função vetorial
. A tarefa é calcular o limite dessa função nos pontos
e
e depois ver se a função é contínua nesses pontos. Para isso, vamos precisar entender sobre limites e continuidade de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Lembrando que o limite de uma função vetorial é calculado componente por componente. Ou seja, vamos calcular o limite de cada uma das funções escalares que formam a função vetorial.
Passo 3
Vamos calcular o limite da componente
quando
:
A função seno é contínua em todo o domínio, então o limite é simplesmente
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da componente
quando
:
A função cosseno também é contínua, então o limite é
.
Passo 5
Por fim, a componente constante
não depende de
, então:
Passo 6
Juntando tudo, o limite da função vetorial
quando
é:
Passo 7
Vamos repetir o mesmo processo para
.
Passo 8
Limite da componente
quando
:
Passo 9
Limite da componente
quando
:
Passo 10
E a componente
permanece:
Passo 11
Então, o limite da função vetorial quando
é:
Passo 12
Agora, vamos analisar a continuidade. Uma função vetorial é contínua em um ponto se o limite naquele ponto for igual ao valor da função no próprio ponto.
Passo 13
Verificando em
:
Como o limite quando
é igual a
, a função é contínua em
.
Passo 14
Verificando em
:
Novamente, o limite quando
é igual a
, então a função também é contínua em
.
Resposta
A função vetorial
possui limites em
e
iguais a
e
respectivamente. Além disso, a função é contínua nesses pontos.
Exercícios relacionados
Dada a função bijetora
, encontre uma fórmula para
.
Dada a função
, mostre que
e
.
Escreva uma fórmula para a função inversa
fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que
e
.]
Mostre que
para
. Use este resultado para calcular
e
.