Mostre que
para
. Use este resultado para calcular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos que provar que para valores de
entre
e
. Além disso, precisamos usar esse resultado para calcular ,
e . Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre funções trigonométricas inversas e identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que . A função nos dá um ângulo cujo seno é
. Vamos chamar esse ângulo de
, ou seja, . Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica fundamental:
Como sabemos que
, podemos substituir na identidade:
Passo 4
Resolvendo para
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como , temos:
Passo 5
Agora que provamos que , vamos usar esse resultado para calcular . Para isso, vamos usar a identidade da função seno para o ângulo duplo:
Aqui, , então:
Passo 6
Sabemos que e já vimos que . Substituindo esses valores:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Para isso, usamos a identidade do cosseno para o ângulo duplo:
Aqui,
, então:
Passo 8
Sabemos que
. Substituindo esse valor na expressão:
Passo 9
Por fim, vamos calcular . Sabemos que:
Onde , então:
Passo 10
Já vimos que e . Substituindo esses valores: