Mostre que
para
. Use este resultado para calcular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos que provar que para valores de
entre
e
. Além disso, precisamos usar esse resultado para calcular ,
e . Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre funções trigonométricas inversas e identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que . A função nos dá um ângulo cujo seno é
. Vamos chamar esse ângulo de
, ou seja, . Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica fundamental:
Como sabemos que
, podemos substituir na identidade:
Passo 4
Resolvendo para
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como , temos:
Passo 5
Agora que provamos que , vamos usar esse resultado para calcular . Para isso, vamos usar a identidade da função seno para o ângulo duplo:
Aqui, , então:
Passo 6
Sabemos que e já vimos que . Substituindo esses valores:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Para isso, usamos a identidade do cosseno para o ângulo duplo:
Aqui,
, então:
Passo 8
Sabemos que
. Substituindo esse valor na expressão:
Passo 9
Por fim, vamos calcular . Sabemos que:
Onde , então:
Passo 10
Já vimos que e . Substituindo esses valores:
Resposta
Exercícios relacionados
Escreva uma fórmula para a função inversa
fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que
e
.]
Calcular o limite e analisar a continuidade das funçōes vetoriais dadas, nos pontos indicados.
d)
.
d)
Classifique cada função como uma função afim, função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
Encontre uma fórmula para
.