Mostre que cos(arcsen(x)) = raiz(1 - x^2) para -1 <= x <= 1. Use este resultado para calcular sen(2 arcsen x), cos(2 arccos x) e tan(arcsen(x)).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos que provar que para valores de entre x e -1. Além disso, precisamos usar esse resultado para calcular , 1 e . Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre funções trigonométricas inversas e identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que . A função nos dá um ângulo cujo seno é . Vamos chamar esse ângulo de , ou seja, . Sabemos que:
x

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica fundamental:
Como sabemos que , podemos substituir na identidade:

Passo 4

Resolvendo para :
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como , temos:

Passo 5

Agora que provamos que , vamos usar esse resultado para calcular . Para isso, vamos usar a identidade da função seno para o ângulo duplo:
Aqui, , então:

Passo 6

Sabemos que e já vimos que . Substituindo esses valores:

Passo 7

Agora, vamos calcular . Para isso, usamos a identidade do cosseno para o ângulo duplo:
Aqui, , então:

Passo 8

Sabemos que . Substituindo esse valor na expressão:

Passo 9

Por fim, vamos calcular . Sabemos que:
Onde , então:

Passo 10

Já vimos que e . Substituindo esses valores:

Resposta

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