Escreva uma fórmula para a função inversa
fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que
e
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a função inversa de
. Isso envolve o conteúdo de funções e funções inversas. Pra resolver, vamos precisar entender como inverter uma função exponencial e determinar o domínio e a imagem dessa inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, se
é uma função que leva
para
, a função inversa
faz o caminho contrário, levando
de volta para
. Ou seja,
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar a inversa de
, precisamos resolver a equação
para
em termos de
. Isso nos dará
.
Passo 4
Vamos começar aplicando o logaritmo de base 2 nos dois lados da equação para “trazer o expoente para baixo”. Lembrando que
, temos:
Passo 5
Agora, pra resolver para
, aplicamos o logaritmo de base 10 nos dois lados:
Passo 6
Assim, encontramos que a função inversa
é:
Passo 7
Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função inversa. Sabemos que:
- O domínio de
é a imagem de . - A imagem de
é o domínio de .
Passo 8
Para
:
- O domínio de
é todos os números reais, . - A imagem de
é , porque é sempre maior que 1.
Passo 9
Então, para
:
- O domínio é
. - A imagem é
.
Resposta
A função inversa é
, com domínio
e imagem em todos os números reais.