Escreva uma fórmula para a função inversa f^-1 fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que Im(f^-1) = Dom(f) e Dom(f inverso) = Im(f).] y = 2^(10^x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a função inversa de . Isso envolve o conteúdo de funções e funções inversas. Pra resolver, vamos precisar entender como inverter uma função exponencial e determinar o domínio e a imagem dessa inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, se é uma função que leva para , a função inversa faz o caminho contrário, levando de volta para . Ou seja, e .

Passo 3

Agora, para encontrar a inversa de , precisamos resolver a equação para em termos de . Isso nos dará .

Passo 4

Vamos começar aplicando o logaritmo de base 2 nos dois lados da equação para “trazer o expoente para baixo”. Lembrando que , temos:

Passo 5

Agora, pra resolver para , aplicamos o logaritmo de base 10 nos dois lados:

Passo 6

Assim, encontramos que a função inversa é:

Passo 7

Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função inversa. Sabemos que:
  • O domínio de é a imagem de .
  • A imagem de é o domínio de .

Passo 8

Para :
  • O domínio de é todos os números reais, .
  • A imagem de é , porque é sempre maior que 1.

Passo 9

Então, para :
  • O domínio é .
  • A imagem é .

Resposta

A função inversa é , com domínio e imagem em todos os números reais.

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