Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve funções vetoriais. A gente precisa calcular o limite da função vetorial quando se aproxima de 0, e depois analisar se essa função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade para funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando tende a 0. Lembra que o limite de uma função vetorial é calculado componente por componente. Ou seja, vamos calcular os limites de cada uma das componentes da função separadamente.

Passo 3

Vamos então olhar para a primeira componente: . Sabemos que , porque o seno de 0 é 0.

Passo 4

Agora, para a segunda componente: . O limite de quando tende a 0 é 1, então vai ter limite .

Passo 5

A terceira componente é , que é uma constante vetorial. Ou seja, não depende de , então o limite dela quando tende a 0 é simplesmente .

Passo 6

Agora, juntando os limites das três componentes, temos:

Passo 7

Para analisar a continuidade da função vetorial no ponto , precisamos verificar se o limite quando tende a 0 é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 8

Vamos calcular :
Isso é igual ao limite que calculamos anteriormente.

Resposta

Então, o limite da função vetorial quando tende a 0 é , e a função é contínua nesse ponto.

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