Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve funções vetoriais. A gente precisa calcular o limite da função vetorial quando
se aproxima de 0, e depois analisar se essa função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade para funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função
quando
tende a 0. Lembra que o limite de uma função vetorial é calculado componente por componente. Ou seja, vamos calcular os limites de cada uma das componentes da função separadamente.
Passo 3
Vamos então olhar para a primeira componente: . Sabemos que , porque o seno de 0 é 0.
Passo 4
Agora, para a segunda componente:
. O limite de
quando
tende a 0 é 1, então
vai ter limite
.
Passo 5
A terceira componente é
, que é uma constante vetorial. Ou seja,
não depende de
, então o limite dela quando
tende a 0 é simplesmente
.
Passo 6
Agora, juntando os limites das três componentes, temos:
Passo 7
Para analisar a continuidade da função vetorial
no ponto
, precisamos verificar se o limite quando
tende a 0 é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 8
Vamos calcular
:
Isso é igual ao limite que calculamos anteriormente.
Resposta
Então, o limite da função vetorial
quando
tende a 0 é
, e a função é contínua nesse ponto.
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Seja
uma função não negativa no intervalo [1,2]. Encontre a área da região limitada pelo gráfico de
.
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge.
.
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.