Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
, usando o método de substituição. Isso está ligado à matéria de cálculo integral, especificamente à técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Olhando para o denominador
, parece uma boa ideia deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
. Isso simplifica nossa integral porque substituímos
por
e
por
.
Passo 3
Com essa substituição, a integral original fica assim:
Agora, a integral está em termos de
, o que geralmente é mais fácil de resolver.
Passo 4
Agora, reconhecemos que a integral de
é uma forma padrão que sabemos resolver. A fórmula para essa integral é:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
No nosso caso, comparando com a fórmula, temos
, então
. Substituindo esses valores na fórmula, a integral fica:
Passo 6
Por fim, lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para a variável original
:
Resposta
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Calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Seja
uma função não negativa no intervalo [1,2]. Encontre a área da região limitada pelo gráfico de
.
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