Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral d x4+(x-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de 14 + (x - 1)^2 em relação a x, usando o método de substituição. Isso está ligado à matéria de cálculo integral, especificamente à técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Olhando para o denominador 4 + (x - 1)^2, parece uma boa ideia deixar u = x - 1. Assim, a derivada de u em relação a x é du = dx. Isso simplifica nossa integral porque substituímos x - 1 por u e dx por du.

Passo 3

Com essa substituição, a integral original fica assim:
integral du4 + u^2
Agora, a integral está em termos de u, o que geralmente é mais fácil de resolver.

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral de 1a^2 + u^2 du é uma forma padrão que sabemos resolver. A fórmula para essa integral é:
integral dua^2 + u^2 = 1a arctan(ua) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

No nosso caso, comparando com a fórmula, temos a^2 = 4, então a = 2. Substituindo esses valores na fórmula, a integral fica:
12 arctan(u2) + C

Passo 6

Por fim, lembrando que fizemos a substituição u = x - 1, vamos voltar para a variável original x:
12 arctan(x - 12) + C

Resposta

12 arctan(x - 12) + C

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