Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a , usando o método de substituição. Isso está ligado à matéria de cálculo integral, especificamente à técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Olhando para o denominador , parece uma boa ideia deixar . Assim, a derivada de em relação a é . Isso simplifica nossa integral porque substituímos por e por .

Passo 3

Com essa substituição, a integral original fica assim:
Agora, a integral está em termos de , o que geralmente é mais fácil de resolver.

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral de é uma forma padrão que sabemos resolver. A fórmula para essa integral é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

No nosso caso, comparando com a fórmula, temos , então . Substituindo esses valores na fórmula, a integral fica:

Passo 6

Por fim, lembrando que fizemos a substituição , vamos voltar para a variável original :

Resposta

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