Use, se possível, o Teste da Integral para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o Teste da Integral para descobrir se a série
converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de séries infinitas em Cálculo, onde a gente analisa o comportamento de uma série para ver se ela soma a um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a função associada à série for positiva, contínua e decrescente, podemos usar esse teste.
Passo 3
Nossa série é
. Vamos associar essa série a uma função contínua
, onde
. Essa função é positiva e decrescente, então podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral imprópria de
de 1 até o infinito:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Agora, avaliamos os limites de integração:
Conforme
vai para o infinito,
também vai para o infinito. Portanto, a integral diverge.
Passo 5
Segundo o Teste da Integral, se a integral associada à série diverge, então a série também diverge. Como nossa integral deu infinito, concluímos que a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge.
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