Use, se possível, o Teste da Integral para decidir se as séries convergem ou divergem: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o Teste da Integral para descobrir se a série converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de séries infinitas em Cálculo, onde a gente analisa o comportamento de uma série para ver se ela soma a um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a função associada à série for positiva, contínua e decrescente, podemos usar esse teste.

Passo 3

Nossa série é . Vamos associar essa série a uma função contínua , onde . Essa função é positiva e decrescente, então podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral imprópria de de 1 até o infinito:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe , então , ou seja, . Substituindo na integral:
Agora, avaliamos os limites de integração:
Conforme vai para o infinito, também vai para o infinito. Portanto, a integral diverge.

Passo 5

Segundo o Teste da Integral, se a integral associada à série diverge, então a série também diverge. Como nossa integral deu infinito, concluímos que a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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