Use, se possível, o Teste da Integral para decidir se as séries convergem ou divergem: sumn=1^+infty 12 n+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o Teste da Integral para descobrir se a série sumn=1^+infty 12n+1 converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de séries infinitas em Cálculo, onde a gente analisa o comportamento de uma série para ver se ela soma a um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a função associada à série for positiva, contínua e decrescente, podemos usar esse teste.

Passo 3

Nossa série é sumn=1^+infty 12n+1. Vamos associar essa série a uma função contínua f(x) = 12x+1, onde x >= 1. Essa função é positiva e decrescente, então podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral imprópria de f(x) de 1 até o infinito:
integral1^+infty 12x+1 ,dx
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Deixe u = 2x + 1, então du = 2,dx, ou seja, dx = du2. Substituindo na integral:
integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u ,du = 12 ln|u| + C = 12 ln(2x+1) + C
Agora, avaliamos os limites de integração:
limb to +infty [ 12 ln(2b+1) - 12 ln(3) ] = limb to +infty 12 ln(2b+1) - 12 ln(3)
Conforme b vai para o infinito, ln(2b+1) também vai para o infinito. Portanto, a integral diverge.

Passo 5

Segundo o Teste da Integral, se a integral associada à série diverge, então a série também diverge. Como nossa integral deu infinito, concluímos que a série sumn=1^+infty 12n+1 também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 12n+1 diverge.

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