Seja f uma função não negativa no intervalo [1,2]. Encontre a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x^(-3) * (1 + x^(-2))^(-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é não negativa no intervalo [1, 2]. Nosso objetivo é encontrar a área da região que está debaixo do gráfico dessa função entre e . Para isso, vamos usar o que a gente aprende em cálculo sobre integrais definidas, que são ferramentas poderosas para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando queremos encontrar a área sob uma curva, estamos falando de calcular uma integral definida. No nosso caso, a área será dada por:

Passo 3

Agora, para resolver essa integral, vamos simplificar a expressão. Observando a função , percebemos que uma substituição inteligente pode facilitar nosso trabalho. Vamos definir uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 4

Vamos escolher:
Então, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso significa que:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral em termos de . Substituindo e na integral original, temos:
Substituindo :

Passo 6

Vamos simplificar os limites de integração. Quando :
E quando :
Então, nossa integral fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 8

Vamos substituir os limites de integração:
Para :
Para :
Então,

Resposta

A área da região limitada pelo gráfico de no intervalo [1, 2] é .

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