Seja
uma função não negativa no intervalo [1,2]. Encontre a área da região limitada pelo gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é não negativa no intervalo [1, 2]. Nosso objetivo é encontrar a área da região que está debaixo do gráfico dessa função entre
e
. Para isso, vamos usar o que a gente aprende em cálculo sobre integrais definidas, que são ferramentas poderosas para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando queremos encontrar a área sob uma curva, estamos falando de calcular uma integral definida. No nosso caso, a área
será dada por:
Passo 3
Agora, para resolver essa integral, vamos simplificar a expressão. Observando a função
, percebemos que uma substituição inteligente pode facilitar nosso trabalho. Vamos definir uma nova variável
para simplificar a integral.
Passo 4
Vamos escolher:
Então, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
na integral original, temos:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos simplificar os limites de integração. Quando
:
E quando
:
Então, nossa integral fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral:
Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 8
Vamos substituir os limites de integração:
Para
:
Para
:
Então,
Resposta
A área da região limitada pelo gráfico de
no intervalo [1, 2] é
.