Para calcular o limite
, Daniela fez a seguinte mudança de variável:
Qual dessas duas possibilidades de
ela deve considerar? Em outras palavras, qual dos limites abaixo está correto:
Explique e calcule o valor do respectivo limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para calcular o limite
. Para isso, a Daniela fez uma mudança de variável, trocando
por
, onde
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das duas possibilidades de
ela deve considerar (ou seja, se
ou
) e depois calcular o limite usando a opção correta. Vamos precisar entender como funciona a mudança de variável e quais escolhas fazem sentido quando
se aproxima de 1.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a mudança de variável que a Daniela fez:
Aqui,
pode ser tanto
quanto
, porque ao elevar ao quadrado, tanto o positivo quanto o negativo resultam no mesmo valor. No entanto, como estamos calculando o limite quando
, ou seja,
está se aproximando de 1, que é um número positivo, faz mais sentido que escolhemos a raiz positiva. Assim, a opção correta é:
Portanto, o limite que devemos considerar é:
Passo 3
Agora que sabemos qual expressão usar, vamos calcular o limite:
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
:
- No numerador,
quando é pequeno (usando a expansão da série de Taylor). - No denominador,
também usando a expansão de Taylor para raízes quadradas.
Substituindo essas aproximações, temos:
Então, o limite é igual a 2.
Resposta
O limite
é igual a 2.