Para calcular o limite , Daniela fez a seguinte mudança de variável:
Qual dessas duas possibilidades de ela deve considerar? Em outras palavras, qual dos limites abaixo está correto:
Explique e calcule o valor do respectivo limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para calcular o limite . Para isso, a Daniela fez uma mudança de variável, trocando por , onde . Nosso objetivo aqui é descobrir qual das duas possibilidades de ela deve considerar (ou seja, se ou ) e depois calcular o limite usando a opção correta. Vamos precisar entender como funciona a mudança de variável e quais escolhas fazem sentido quando se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a mudança de variável que a Daniela fez:
Aqui, pode ser tanto quanto , porque ao elevar ao quadrado, tanto o positivo quanto o negativo resultam no mesmo valor. No entanto, como estamos calculando o limite quando , ou seja, está se aproximando de 1, que é um número positivo, faz mais sentido que escolhemos a raiz positiva. Assim, a opção correta é:
Portanto, o limite que devemos considerar é:

Passo 3

Agora que sabemos qual expressão usar, vamos calcular o limite:
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando :
  • No numerador, quando é pequeno (usando a expansão da série de Taylor).
  • No denominador, também usando a expansão de Taylor para raízes quadradas.
Substituindo essas aproximações, temos:
Então, o limite é igual a 2.

Resposta

O limite é igual a 2.

Exercícios relacionados

Prove, pela definição, que .
Sejam e polinômios de grau e , respectivamente. Encontre o valor de quando o grau de for:
(a) Menor que o grau de .
(b) Maior ou igual que o grau de .
Desafio: Utilize o teorema do confronto para avaliar o seguinte limite:
Octermine sea a furçato e par. mipes ou nerhum dos dos. Jusitque.