Para calcular o limite lim x 1 e^(x^2-1)-1x-1, Daniela fez a seguinte mudança de variável:
h=x^2-1 Long<=ftrightarrow x^2=h+1 Long<=ftrightarrow x= pm raizh+1
Qual dessas duas possibilidades de x ela deve considerar? Em outras palavras, qual dos limites abaixo está correto:
lim x 1 e^(x^2-1)-1x-1=lim h 0 e^h-1raizh+1-1 ou lim x 1 e^(x^2-1)-1x-1=lim h 0 e^h-1-raizh+1-1 ?
Explique e calcule o valor do respectivo limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para calcular o limite . Para isso, a Daniela fez uma mudança de variável, trocando por , onde . Nosso objetivo aqui é descobrir qual das duas possibilidades de ela deve considerar (ou seja, se ou ) e depois calcular o limite usando a opção correta. Vamos precisar entender como funciona a mudança de variável e quais escolhas fazem sentido quando se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a mudança de variável que a Daniela fez:
h = x^2 - 1 Long<=ftrightarrow x^2 = h + 1 Long<=ftrightarrow x = pm raizh + 1
Aqui, x = raizh + 1 pode ser tanto lim h 0 e^h - 1raizh + 1 - 1 quanto , porque ao elevar ao quadrado, tanto o positivo quanto o negativo resultam no mesmo valor. No entanto, como estamos calculando o limite quando , ou seja, está se aproximando de 1, que é um número positivo, faz mais sentido que escolhemos a raiz positiva. Assim, a opção correta é:
Portanto, o limite que devemos considerar é:

Passo 3

Agora que sabemos qual expressão usar, vamos calcular o limite:
lim h 0 e^h - 1raizh + 1 - 1
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando (1 + h) - 1(1 + h2) - 1 = hh2 = 2 :
  • No numerador, quando é pequeno (usando a expansão da série de Taylor).
  • No denominador, também usando a expansão de Taylor para raízes quadradas.
Substituindo essas aproximações, temos:
Então, o limite é igual a 2.

Resposta

O limite é igual a 2.

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