Prove, pela definição, que lim x +infty log 2 x=+infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que, quando cresce sem limite, o logaritmo na base 2 de também cresce sem limite, ou seja, . Para isso, vamos usar a definição de limite no infinito. Vamos precisar entender como funciona essa definição e aplicar ela direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que o limite de quando tende a é . Basicamente, isso quer dizer que para qualquer número grande que a gente escolher, a função vai acabar sendo maior que esse número quando for suficientemente grande. Vamos formalizar isso!

Passo 3

A definição formal diz o seguinte: para todo número , existe um número tal que, se , então . Ou seja, dado qualquer , a gente precisa encontrar um que garanta que, além desse , o logaritmo de na base 2 vai ser maior que .

Passo 4

Vamos resolver para . Queremos que . Sabemos que isso é equivalente a , porque o logaritmo na base 2 é a função inversa da potência de 2. Então, se a gente escolher , sempre que , teremos .

Passo 5

Portanto, para qualquer , se a gente escolher , sempre que , a condição é satisfeita. Isso mostra exatamente o que a definição do limite no infinito exige.

Resposta

Concluímos que .

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