Prove, pela definição, que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que, quando
cresce sem limite, o logaritmo na base 2 de
também cresce sem limite, ou seja,
. Para isso, vamos usar a definição de limite no infinito. Vamos precisar entender como funciona essa definição e aplicar ela direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que o limite de
quando
tende a
é
. Basicamente, isso quer dizer que para qualquer número grande que a gente escolher, a função
vai acabar sendo maior que esse número quando
for suficientemente grande. Vamos formalizar isso!
Passo 3
A definição formal diz o seguinte: para todo número
, existe um número
tal que, se
, então
. Ou seja, dado qualquer
, a gente precisa encontrar um
que garanta que, além desse
, o logaritmo de
na base 2 vai ser maior que
.
Passo 4
Vamos resolver para
. Queremos que
. Sabemos que isso é equivalente a
, porque o logaritmo na base 2 é a função inversa da potência de 2. Então, se a gente escolher
, sempre que
, teremos
.
Passo 5
Portanto, para qualquer
, se a gente escolher
, sempre que
, a condição
é satisfeita. Isso mostra exatamente o que a definição do limite no infinito exige.
Resposta
Concluímos que
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
polinômios de grau
e
, respectivamente. Encontre o valor de
quando o grau de
for:
(a) Menor que o grau de .
(b) Maior ou igual que o grau de .
(a) Menor que o grau de
(b) Maior ou igual que o grau de
Demonstre as seguintes afirmações:
(a) O polinômio tem alguma raiz real no intervalo
.
(b) A equação tem pelo menos duas soluções reais.
(a) O polinômio
(b) A equação
Para calcular o limite
, Daniela fez a seguinte mudança de variável:
Qual dessas duas possibilidades de
ela deve considerar? Em outras palavras, qual dos limites abaixo está correto:
Explique e calcule o valor do respectivo limite.
Desafio: Utilize o teorema do confronto para avaliar o seguinte limite: