Desafio: Utilize o teorema do confronto para avaliar o seguinte limite:

Passo 1

Vamos analisar o limite . Para resolver esse problema, vamos utilizar o Teorema do Confronto. Esse teorema é útil quando queremos determinar o limite de uma função que está “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos. Vamos precisar entender os limites básicos da função seno e como lidar com expressões envolvendo exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o limite em duas partes para facilitar:
Vamos resolver cada um separadamente.

Passo 3

Começando com , sabemos de um limite fundamental que:
Isso porque, pelo desenvolvimento da série de Taylor, para valores de próximos de 0.

Passo 4

Agora, vamos para . Observamos que oscila entre -1 e 1 para todo porque a função seno sempre varia nesse intervalo. Portanto, fica entre e .

Passo 5

Isso nos dá:
Ou seja,
Como tende a 0 quando tende a 0, ambas as extremidades dos limites também tendem a 0.

Passo 6

Pelo Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Assim:

Resposta

Portanto, o limite original é:

Exercícios relacionados

Para calcular o limite , Daniela fez a seguinte mudança de variável:
Qual dessas duas possibilidades de ela deve considerar? Em outras palavras, qual dos limites abaixo está correto:
Explique e calcule o valor do respectivo limite.
Prove, pela definição, que .
Octermine sea a furçato e par. mipes ou nerhum dos dos. Jusitque.
Determinar o dominio das funçoas: