Desafio: Utilize o teorema do confronto para avaliar o seguinte limite:
Passo 1
Vamos analisar o limite . Para resolver esse problema, vamos utilizar o Teorema do Confronto. Esse teorema é útil quando queremos determinar o limite de uma função que está “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos. Vamos precisar entender os limites básicos da função seno e como lidar com expressões envolvendo exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos separar o limite em duas partes para facilitar:
Vamos resolver cada um separadamente.
Passo 3
Começando com , sabemos de um limite fundamental que:
Isso porque, pelo desenvolvimento da série de Taylor, para valores de
próximos de 0.
Passo 4
Agora, vamos para . Observamos que oscila entre -1 e 1 para todo
porque a função seno sempre varia nesse intervalo. Portanto, fica entre
e
.
Passo 5
Isso nos dá:
Ou seja,
Como
tende a 0 quando
tende a 0, ambas as extremidades dos limites também tendem a 0.
Passo 6
Pelo Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Assim:
Resposta
Portanto, o limite original é:
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Para calcular o limite
, Daniela fez a seguinte mudança de variável:
Qual dessas duas possibilidades de
ela deve considerar? Em outras palavras, qual dos limites abaixo está correto:
Explique e calcule o valor do respectivo limite.
Prove, pela definição, que
.
Octermine sea a furçato e par. mipes ou nerhum dos dos. Jusitque.
Determinar o dominio das funçoas: