Desafio: Utilize o teorema do confronto para avaliar o seguinte limite:
lim x 0[sen xx+x^2e^sen(1x)+1]

Passo 1

Vamos analisar o limite . Para resolver esse problema, vamos utilizar o Teorema do Confronto. Esse teorema é útil quando queremos determinar o limite de uma função que está “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos. Vamos precisar entender os limites básicos da função seno e como lidar com expressões envolvendo exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o limite em duas partes para facilitar:
Vamos resolver cada um separadamente.

Passo 3

Começando com , sabemos de um limite fundamental que:
Isso porque, pelo desenvolvimento da série de Taylor, para valores de lim x 0sen xx = 1 próximos de 0.

Passo 4

Agora, vamos para . Observamos que oscila entre -1 e 1 para todo porque a função seno sempre varia nesse intervalo. Portanto, fica entre e .

Passo 5

Isso nos dá:
Ou seja,
Como e^-1 + 1 <= e^sen(1x) + 1 <= e^1 + 1 tende a 0 quando x^2e^1 + 1 <= x^2e^sen(1x) + 1 <= x^2e^-1 + 1 tende a 0, ambas as extremidades dos limites também tendem a 0.

Passo 6

Pelo Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Assim:

Resposta

Portanto, o limite original é:
1 + 0 = 1

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