Sejam P e Q polinômios de grau m e n, respectivamente. Encontre o valor de lim x infty P(x)Q(x) quando o grau de P for:
(a) Menor que o grau de Q.
(b) Maior ou igual que o grau de Q.

Passo 1

Então, galera! Temos um exercício onde precisamos encontrar o limite de uma fração envolvendo dois polinômios, P(x) e Q(x), quando x vai para o infinito. Os polinômios têm graus m e n, respectivamente. Vamos precisar entender como os graus dos polinômios influenciam o limite dessa fração.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): quando o grau de P é menor que o grau de Q ( m < n).
Quando o grau do polinômio no numerador é menor que o do denominador, conforme x cresce muito, o denominador cresce mais rápido que o numerador. Isso faz com que a fração inteira se aproxime de zero.
Matematicamente, temos:
limx infty P(x)Q(x) = 0 se m < n

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): quando o grau de P é maior ou igual ao grau de Q ( m >= n).
  • Caso 1: Se o grau de P for maior que o de Q ( m > n), o numerador cresce mais rápido que o denominador, então o limite tende para infinito ou menos infinito, dependendo dos coeficientes líderes dos polinômios.
  • Caso 2: Se os graus forem iguais ( m = n), o limite será a razão dos coeficientes líderes dos polinômios. Ou seja, pegamos os coeficientes dos termos de maior grau em P(x) e Q(x) e dividimos.
Matematicamente:
limx infty P(x)Q(x) = infty ou -infty & se m > n ambn & se m = n
Onde am e bn são os coeficientes dos termos de maior grau em P(x) e Q(x), respectivamente.

Resposta

(a) O limite é 0.
(b) Se m > n, o limite é infty ou -infty; se m = n, o limite é a razão dos coeficientes líderes de P e Q, ou seja, ambn.

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