Sejam
e
polinômios de grau
e
, respectivamente. Encontre o valor de
quando o grau de
for:
(a) Menor que o grau de
.
(b) Maior ou igual que o grau de
.
(a) Menor que o grau de
(b) Maior ou igual que o grau de
Passo 1
Então, galera! Temos um exercício onde precisamos encontrar o limite de uma fração envolvendo dois polinômios,
e
, quando
vai para o infinito. Os polinômios têm graus
e
, respectivamente. Vamos precisar entender como os graus dos polinômios influenciam o limite dessa fração.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): quando o grau de
é menor que o grau de
(
).
Quando o grau do polinômio no numerador é menor que o do denominador, conforme
cresce muito, o denominador cresce mais rápido que o numerador. Isso faz com que a fração inteira se aproxime de zero.
Matematicamente, temos:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): quando o grau de
é maior ou igual ao grau de
(
).
-
Caso 1: Se o grau de
for maior que o de ( ), o numerador cresce mais rápido que o denominador, então o limite tende para infinito ou menos infinito, dependendo dos coeficientes líderes dos polinômios. -
Caso 2: Se os graus forem iguais (
), o limite será a razão dos coeficientes líderes dos polinômios. Ou seja, pegamos os coeficientes dos termos de maior grau em e e dividimos.
Matematicamente:
Onde
e
são os coeficientes dos termos de maior grau em
e
, respectivamente.
Resposta
(a) O limite é
.
(b) Se
, o limite é
ou
; se
, o limite é a razão dos coeficientes líderes de
e
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Demonstre as seguintes afirmações:
(a) O polinômio tem alguma raiz real no intervalo
.
(b) A equação tem pelo menos duas soluções reais.
(a) O polinômio
(b) A equação
Aplique o teorema do confronto (ou sanduíche) para calcular os seguintes limites:
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Prove, pela definição, que
.
Para calcular o limite
, Daniela fez a seguinte mudança de variável:
Qual dessas duas possibilidades de
ela deve considerar? Em outras palavras, qual dos limites abaixo está correto:
Explique e calcule o valor do respectivo limite.