Sejam e polinômios de grau e , respectivamente. Encontre o valor de quando o grau de for:
(a) Menor que o grau de .
(b) Maior ou igual que o grau de .

Passo 1

Então, galera! Temos um exercício onde precisamos encontrar o limite de uma fração envolvendo dois polinômios, e , quando vai para o infinito. Os polinômios têm graus e , respectivamente. Vamos precisar entender como os graus dos polinômios influenciam o limite dessa fração.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): quando o grau de é menor que o grau de ( ).
Quando o grau do polinômio no numerador é menor que o do denominador, conforme cresce muito, o denominador cresce mais rápido que o numerador. Isso faz com que a fração inteira se aproxime de zero.
Matematicamente, temos:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): quando o grau de é maior ou igual ao grau de ( ).
  • Caso 1: Se o grau de for maior que o de ( ), o numerador cresce mais rápido que o denominador, então o limite tende para infinito ou menos infinito, dependendo dos coeficientes líderes dos polinômios.
  • Caso 2: Se os graus forem iguais ( ), o limite será a razão dos coeficientes líderes dos polinômios. Ou seja, pegamos os coeficientes dos termos de maior grau em e e dividimos.
Matematicamente:
Onde e são os coeficientes dos termos de maior grau em e , respectivamente.

Resposta

(a) O limite é .
(b) Se , o limite é ou ; se , o limite é a razão dos coeficientes líderes de e , ou seja, .

Exercícios relacionados

Demonstre as seguintes afirmações:
(a) O polinômio tem alguma raiz real no intervalo .
(b) A equação tem pelo menos duas soluções reais.
Aplique o teorema do confronto (ou sanduíche) para calcular os seguintes limites:
(a)
(b)
© .
Prove, pela definição, que .
Para calcular o limite , Daniela fez a seguinte mudança de variável:
Qual dessas duas possibilidades de ela deve considerar? Em outras palavras, qual dos limites abaixo está correto:
Explique e calcule o valor do respectivo limite.