Mostrar que o limite a seguir não existe.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o seguinte limite:
Esse exercício está ligado ao cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para mostrar que esse limite não existe, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Se os resultados forem diferentes, concluímos que o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. No numerador, temos
, que podemos fatorar:
No denominador, temos
, que é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada assim:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 3
Agora, vamos escolher diferentes caminhos para aproximar
de
e ver se o limite depende do caminho escolhido.
Passo 4
Primeiro caminho:
Substituindo
por 0 na expressão, temos:
Simplificando ainda mais:
À medida que
se aproxima de 0,
tende ao infinito negativo, então o limite é
.
Passo 5
Segundo caminho:
Substituindo
por
na expressão, temos:
Isso resulta em uma forma indeterminada
, mas analisando mais de perto, percebemos que o denominador é zero enquanto o numerador não é necessariamente zero, indicando que o limite pode tender ao infinito ou não existir de forma consistente.
Passo 6
Como os limites ao longo dos caminhos
e
resultam em valores diferentes (
e uma indeterminação), concluímos que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
O limite não existe.
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