Mostrar que o limite a seguir não existe.
(b) lim (x, y) (0,0) x^6-x^2x^2-y^2

Passo 1

Vamos resolver o seguinte limite:
lim (x, y) (0,0) x^6-x^2x^2-y^2
Esse exercício está ligado ao cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para mostrar que esse limite não existe, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se os resultados forem diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. No numerador, temos x^6 - x^2 = x^2(x^4 - 1) , que podemos fatorar:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
No denominador, temos lim (x, y) (0,0) x^2(x^4 - 1)(x - y)(x + y) , que é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada assim:
Então, a expressão do limite fica:

Passo 3

Agora, vamos escolher diferentes caminhos para aproximar de e ver se o limite depende do caminho escolhido.

Passo 4

Primeiro caminho: lim x 0 x^2(x^4 - 1)(x - 0)(x + 0) = lim x 0 x^2(x^4 - 1)x cdot x = lim x 0 x^4 - 1x
Substituindo lim x 0 x^4 - 1x = lim x 0 ( x^3 - 1x ) por 0 na expressão, temos:
Simplificando ainda mais:
À medida que se aproxima de 0, tende ao infinito negativo, então o limite é .

Passo 5

Segundo caminho: lim x 0 x^2(x^4 - 1)(x - x)(x + x) = lim x 0 x^2(x^4 - 1)0 cdot 2x
Substituindo por na expressão, temos:
Isso resulta em uma forma indeterminada , mas analisando mais de perto, percebemos que o denominador é zero enquanto o numerador não é necessariamente zero, indicando que o limite pode tender ao infinito ou não existir de forma consistente.

Passo 6

Como os limites ao longo dos caminhos e resultam em valores diferentes ( e uma indeterminação), concluímos que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe.

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