Calcular o limite a seguir.
(e) lim (x, y) (0,0) x y^2+y^3-x y^3x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam próximo do ponto e verificar se o limite é o mesmo vindo de diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador: x y^2 - x y^3 = x y^2 (1 - y) . Podemos fatorar x y^2 (1 - y) + y^3 de alguns termos:
Então, o numerador fica:
Mas, para facilitar, vamos deixar a expressão original mesmo e analisar seu comportamento.

Passo 3

Vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele é consistente. Por exemplo:
Caminho 1: limx to 0 x cdot 0^2 + 0^3 - x cdot 0^3x^2 + 0^2 = limx to 0 0x^2 = 0
limy to 0 0 cdot y^2 + y^3 - 0 cdot y^30^2 + y^2 = limy to 0 y^3y^2 = limy to 0 y = 0
Caminho 2:

Passo 4

Vamos tentar um caminho mais geral, como x (k x)^2 + (k x)^3 - x (k x)^3x^2 + (k x)^2 = x cdot k^2 x^2 + k^3 x^3 - x cdot k^3 x^3x^2(1 + k^2) = k^2 x^3 + k^3 x^3 - k^3 x^4x^2(1 + k^2) , onde x^3(k^2 + k^3) - k^3x^4x^2(1 + k^2) = x^2(k^2 + k^3) - k^3x^3x^2(1 + k^2)) = k^2 + k^3 - k^3x1 + k^2 é uma constante.
Substituindo k^2 + k^31 + k^2 = k^3/(1 + k^2) + k^2/(1 + k^2) = k^2/(1 + k^2)(1 + k) na função:
Simplificando:
Quando , temos:
Se é finito e , o termo se anula, e o limite também tende a 0.

Passo 5

Outra abordagem é usar a estimativa do limite. Observamos que todos os termos do numerador são de ordem pelo menos ou , enquanto o denominador é . Portanto, conforme , o numerador tende a 0 mais rápido ou na mesma velocidade que o denominador, o que sugere que o limite é 0.

Resposta

O limite é igual a .

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