Calcular o limite a seguir.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam próximo do ponto
e verificar se o limite é o mesmo vindo de diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador:
. Podemos fatorar
de alguns termos:
Então, o numerador fica:
Mas, para facilitar, vamos deixar a expressão original mesmo e analisar seu comportamento.
Passo 3
Vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele é consistente. Por exemplo:
Caminho 1:
Caminho 2:
Passo 4
Vamos tentar um caminho mais geral, como
, onde
é uma constante.
Substituindo
na função:
Simplificando:
Quando
, temos:
Se
é finito e
, o termo
se anula, e o limite também tende a 0.
Passo 5
Outra abordagem é usar a estimativa do limite. Observamos que todos os termos do numerador são de ordem pelo menos
ou
, enquanto o denominador é
. Portanto, conforme
, o numerador tende a 0 mais rápido ou na mesma velocidade que o denominador, o que sugere que o limite é 0.
Resposta
O limite é igual a
.