Calcular o limite a seguir.
(a) lim (x, y) (2 pi, pi) sin x+y23 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando as variáveis e se aproximam de e , respectivamente, da função . Vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o numerador e o denominador à medida que x + y2 = 2pi + pi2 = 3pi2 se aproxima de 3x = 3 times 2pi = 6pi .
No numerador, temos . Quando substituímos e , temos:
Então, .
No denominador, temos . Substituindo , obtemos:

Passo 3

Agora, juntando o numerador e o denominador:
sin x + y23x = -16pi
Como tanto o numerador quanto o denominador estão definidos e não há indeterminação, o limite existe e é igual a esse valor.

Resposta

lim (x, y) (2 pi, pi) sin x+y23 x = -16pi

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