Verificar se a função a seguir é contínua em
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de várias variáveis e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Para facilitar, podemos usar coordenadas polares onde
e
. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0, o termo
faz com que todo o limite vá para 0, já que o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador.
Passo 4
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de
é 0:
Como esse limite é igual a
, concluímos que a função é contínua no ponto
.
Resposta
A função é contínua em
.
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Calcular o limite a seguir.
(a)
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(a)
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(b)
(b)
Mostrar que o limite a seguir não existe.
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