Verificar se a função a seguir é contínua em P(0,0).
(a) f(x, y) = { x^5 / (x^4 + y^4), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de várias variáveis e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Para facilitar, podemos usar coordenadas polares onde e . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, o termo faz com que todo o limite vá para 0, já que o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador.

Passo 4

Portanto, o limite de quando se aproxima de é 0:
Como esse limite é igual a , concluímos que a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua em .

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