Calcular o limite a seguir.
(a) lim (x, y) (2,3) x y+3 x^2-xy

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para calcular . Esse exercício está dentro do conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites quando as duas variáveis e se aproximam de determinados valores ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o limite de uma função em um ponto específico, se a função for contínua nesse ponto, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto. A função que temos é .

Passo 3

Vamos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, precisamos garantir que todas as partes da função estão bem definidas em :
  • é uma operação que sempre está definida para números reais.
  • também está sempre definida.
  • está definida desde que . No ponto , , então está tudo certo.

Passo 4

Como a função é contínua no ponto f(2, 3) = (2)(3) + 3(2)^2 - 23 , o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto. Vamos calcular:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada termo separadamente:
  1. já está simplificado.

Passo 6

Somando tudo:
6 + 12 - 23 = 18 - 23 = 543 - 23 = 523

Resposta

O limite é .

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