Mostre que o limite não existe. lim (x) y) infty y^2x^2+y^2

Passo 1

Vamos analisar o limite . Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, especificamente quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos verificar se o limite depende do caminho pelo qual vai para o infinito. Se variar com o caminho, então o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais pode ir para o infinito. Um caminho comum é assumir que é proporcional a , ou seja, , onde é uma constante.

Passo 3

Substituindo y^2x^2+y^2 = (k x)^2x^2 + (k x)^2 = k^2 x^2x^2 + k^2 x^2 = k^21 + k^2 na função, temos:
Note que, ao simplificar, o cancela e o resultado depende apenas de .

Passo 4

O valor do limite varia conforme o valor de . Por exemplo:
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite tende a .
Isso mostra que diferentes caminhos (valores de ) levam a resultados diferentes para o limite.

Passo 5

Como o valor do limite depende do caminho escolhido, isso significa que o limite não é único. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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