Mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos analisar o limite
. Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, especificamente quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos verificar se o limite depende do caminho pelo qual
vai para o infinito. Se variar com o caminho, então o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais
pode ir para o infinito. Um caminho comum é assumir que
é proporcional a
, ou seja,
, onde
é uma constante.
Passo 3
Substituindo
na função, temos:
Note que, ao simplificar, o
cancela e o resultado depende apenas de
.
Passo 4
O valor do limite
varia conforme o valor de
. Por exemplo:
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é . - Se
, o limite tende a .
Isso mostra que diferentes caminhos (valores de
) levam a resultados diferentes para o limite.
Passo 5
Como o valor do limite depende do caminho escolhido, isso significa que o limite não é único. Portanto, o limite
não existe.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Calcular o limite a seguir.
(a)
(a)
Calcular o limite a seguir.
(a)
(a)