Calcular o limite a seguir.
(b) lim (x, y) (2,-1) e^x y+ln (2 y^2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (2,-1) e^xy+ln (2 y^2x)
Aqui estamos lidando com um limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender sobre funções contínuas e como avaliá-las em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte . A função exponencial é contínua em todo o seu domínio, ou seja, não tem “saltos” ou “quebras”. Isso significa que podemos simplesmente substituir e pelos valores que eles estão se aproximando.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte . A função logaritmo natural também é contínua onde está definida, desde que o argumento seja positivo. Portanto, vamos garantir que seja positivo quando substituirmos e .

Passo 4

Vamos substituir os valores de e^xy = e^2 times (-1) = e^-2 e ln (2 y^2x) = ln (2 times (-1)^22) = ln (2 times 12) = ln(1) na expressão:
E para o logaritmo:

Passo 5

Sabemos que e^-2 + 0 = e^-2 é apenas uma constante e . Então, somando as duas partes:

Resposta

O limite é .

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