Mostrar que o limite a seguir não existe.
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Passo 1
Beleza, vamos ver esse exercício que pede para mostrar que o limite dado não existe. A gente está lidando com limites de funções de duas variáveis, especificamente quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites em várias direções e verificar se o resultado é o mesmo por todos os caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função:
. Nosso objetivo é ver o que acontece com essa expressão à medida que
se aproxima de
por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que nos dão resultados diferentes, isso mostra que o limite não existe.
Passo 3
Vamos tentar aproximar
ao longo da linha
, onde
é uma constante. Substituindo
por
na função, temos:
Isso mostra que, dependendo do valor de
, o limite pode assumir diferentes valores.
Passo 4
Por exemplo, se escolhermos
(ou seja, aproximando-se ao longo do eixo
), temos:
Agora, se escolhermos
(aproximando-se pela linha
), temos:
Passo 5
Como vemos, ao aproximar-se de
por caminhos diferentes (
e
), obtemos resultados diferentes para o limite (0 e
, respectivamente). Isso significa que o limite depende do caminho seguido para chegar a
.
Resposta
Portanto, o limite
não existe.
Exercícios relacionados
Calcular o limite a seguir.
(b)
(b)
Verificar se a função a seguir é contínua em
.
(a)
(a)
Calcular o limite a seguir.
(b)
(b)
Calcular o limite a seguir.
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