Mostrar que o limite a seguir não existe.
© lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^3-4 y^3

Passo 1

Beleza, vamos ver esse exercício que pede para mostrar que o limite dado não existe. A gente está lidando com limites de funções de duas variáveis, especificamente quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites em várias direções e verificar se o resultado é o mesmo por todos os caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função: . Nosso objetivo é ver o que acontece com essa expressão à medida que se aproxima de por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que nos dão resultados diferentes, isso mostra que o limite não existe.

Passo 3

Vamos tentar aproximar 2x (k x)^2x^3 - 4(k x)^3 = 2x cdot k^2 x^2x^3 - 4k^3x^3 = 2k^2x^3x^3(1 - 4k^3) = 2k^21 - 4k^3 ao longo da linha , onde é uma constante. Substituindo por na função, temos:
Isso mostra que, dependendo do valor de , o limite pode assumir diferentes valores.

Passo 4

Por exemplo, se escolhermos 2 cdot 0^21 - 4 cdot 0^3 = 0 (ou seja, aproximando-se ao longo do eixo 2 cdot 1^21 - 4 cdot 1^3 = 21 - 4 = 2-3 = -23 ), temos:
Agora, se escolhermos (aproximando-se pela linha ), temos:

Passo 5

Como vemos, ao aproximar-se de por caminhos diferentes ( e ), obtemos resultados diferentes para o limite (0 e , respectivamente). Isso significa que o limite depende do caminho seguido para chegar a .

Resposta

Portanto, o limite não existe.

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