Calcular os limites dados nos exercícios de 3 a 11. lim x 0 x^2|cos xx|

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 x^2|cos xx|. Esse exercício faz parte do estudo de limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de certos pontos e usar propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Note que temos:
x^2|cos xx| = x^2 cdot |cos xx|
Podemos reescrever isso como:
x^2 cdot |cos x||x| = x cdot |cos x|
Aqui, dividimos x^2 por |x|, o que resulta em x (já que x está se aproximando de 0 e é positivo próximo a 0).

Passo 3

Agora, analisamos o comportamento de cada parte da expressão x cdot |cos x| conforme x se aproxima de 0.
  • Sabemos que cos x é uma função contínua e que cos 0 = 1. Portanto, |cos x| tende para 1 quando x tende para 0.
  • A função x obviamente tende para 0 quando x tende para 0.

Passo 4

Utilizando a propriedade dos limites que diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites (desde que existam), temos:
lim x 0 x cdot |cos x| = ( lim x 0 x ) cdot ( lim x 0 |cos x| ) = 0 cdot 1 = 0

Resposta

O limite lim x 0 x^2|cos xx| é igual a 0.

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