Calcular os limites, se existir.
a) lim x -1 2 x^2-4 x-6x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai calcular o limite . Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, tipo fatoração, e entender o que é um limite mesmo.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de que está se aproximando, que nesse caso é , na expressão. Isso vai nos dar uma ideia se o limite existe diretamente ou se precisamos de mais passos.

Passo 3

Substituindo 2 (-1)^2 - 4 (-1) - 6-1 + 1 = 2(1) + 4 - 60 = 00 na expressão:
O resultado foi , que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo os valores; precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Quando encontramos uma indeterminação como , uma técnica útil é tentar fatorar o numerador e o denominador para ver se podemos cancelar algum fator comum. Vamos começar por fatorar o numerador .

Passo 5

Primeiro, colocamos 2 em evidência:
2x^2 - 4x - 6 = 2(x^2 - 2x - 3)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático dentro do parênteses:
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
Então, o numerador fica:
2(x - 3)(x + 1)

Passo 6

Agora, nossa expressão original fica assim:
2(x - 3)(x + 1)x + 1
Perceba que temos o fator 2(x - 3)cancel(x + 1)cancelx + 1 = 2(x - 3) no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator:

Passo 7

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo 2(-1 - 3) = 2(-4) = -8 :

Resposta

O limite é igual a .

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