Esboce o gráfico de y = x^2 + 1 / x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções polinomiais e racionais. Vamos precisar entender como analisar os pontos críticos, assíntotas e o comportamento geral da função para desenhar um gráfico bem completinho.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o domínio da função. A expressão nos diz que não pode ser zero, porque dividir por zero não dá certo. Então, o domínio é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas. Como temos na função, sabemos que há uma assíntota vertical em . Além disso, vamos ver se há uma assíntota horizontal:
Isso significa que não há assíntotas horizontais, mas a função cresce para o infinito quando vai para .

Passo 4

Vamos achar as derivadas para encontrar os pontos críticos e saber onde a função tem máximos ou mínimos. A derivada de é:
Vamos igualar a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Vamos calcular o valor de nesse ponto crítico:
Então, temos um mínimo local em aproximadamente .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento próximo da assíntota vertical :
  • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ), vai para , então .
  • Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ), vai para , então (já que é positivo e domina).

Passo 7

Vamos agora traçar alguns pontos adicionais para completar o gráfico:
  • :
  • :
  • :
  • :

Passo 8

Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico:
  • A função tem uma assíntota vertical em .
  • Passa pelos pontos (-2, 3.5), (-1, 0), ( , 1.89), (1, 2) e (2, 4.5).
  • A curva tem um mínimo local em e cresce para o infinito quando vai para .

Resposta

O gráfico de possui uma assíntota vertical em , um mínimo local em , e passa pelos pontos (-2, 3.5), (-1, 0), (1, 2) e (2, 4.5). A função cresce para quando tende a . O esboço reflete esses comportamentos e pontos chave.

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