Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções polinomiais e racionais. Vamos precisar entender como analisar os pontos críticos, assíntotas e o comportamento geral da função para desenhar um gráfico bem completinho.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o domínio da função. A expressão
nos diz que
não pode ser zero, porque dividir por zero não dá certo. Então, o domínio é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas. Como temos
na função, sabemos que há uma assíntota vertical em
. Além disso, vamos ver se há uma assíntota horizontal:
Isso significa que não há assíntotas horizontais, mas a função cresce para o infinito quando
vai para
.
Passo 4
Vamos achar as derivadas para encontrar os pontos críticos e saber onde a função tem máximos ou mínimos. A derivada de
é:
Vamos igualar a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Vamos calcular o valor de
nesse ponto crítico:
Então, temos um mínimo local em aproximadamente
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento próximo da assíntota vertical
:
- Quando
se aproxima de 0 pela direita ( ), vai para , então . - Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ), vai para , então (já que é positivo e domina).
Passo 7
Vamos agora traçar alguns pontos adicionais para completar o gráfico:
-
: -
: -
: -
:
Passo 8
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico:
- A função tem uma assíntota vertical em
. - Passa pelos pontos (-2, 3.5), (-1, 0), (
, 1.89), (1, 2) e (2, 4.5). - A curva tem um mínimo local em
e cresce para o infinito quando vai para .
Resposta
O gráfico de
possui uma assíntota vertical em
, um mínimo local em
, e passa pelos pontos (-2, 3.5), (-1, 0), (1, 2) e (2, 4.5). A função cresce para
quando
tende a
. O esboço reflete esses comportamentos e pontos chave.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de
Considere
, onde
é derivável. Calcule
sabendo que de/dt
e que
, isto é,
para
.
Determine as dimensões do retângulo de área máxima cujo perímetro é
.
Calcular os limites, se existir.
a)
a)