Determine as dimensões do retângulo de área máxima cujo perímetro é
.
Passo 1
Então, a gente tem um retângulo com perímetro igual a
e precisamos descobrir quais dimensões (comprimento e largura) esse retângulo deve ter para que a área dele seja a maior possível. Vamos usar conceitos de geometria e um pouco de cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do perímetro do retângulo. O perímetro
é dado por:
Sabemos que
, então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso nos dá uma relação entre o comprimento
e a largura
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a área
do retângulo. A área é dada por:
Mas como já sabemos que
, podemos substituir na fórmula da área:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, precisamos encontrar o ponto de máximo da função quadrática
. Sabemos que o vértice de uma parábola
ocorre em
.
Aqui,
e
, então:
Passo 5
Com
, podemos encontrar o comprimento
:
Resposta
As dimensões do retângulo de área máxima com perímetro
são comprimento
e largura
, ou seja, o retângulo é um quadrado com lados iguais a
.