Determine as dimensões do retângulo de área máxima cujo perímetro é 2p.

Passo 1

Então, a gente tem um retângulo com perímetro igual a e precisamos descobrir quais dimensões (comprimento e largura) esse retângulo deve ter para que a área dele seja a maior possível. Vamos usar conceitos de geometria e um pouco de cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do perímetro do retângulo. O perímetro é dado por:
Sabemos que , então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso nos dá uma relação entre o comprimento e a largura .

Passo 3

Agora, vamos expressar a área do retângulo. A área é dada por:
Mas como já sabemos que , podemos substituir na fórmula da área:

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza a área, precisamos encontrar o ponto de máximo da função quadrática . Sabemos que o vértice de uma parábola ocorre em .
Aqui, e , então:

Passo 5

Com , podemos encontrar o comprimento :

Resposta

As dimensões do retângulo de área máxima com perímetro são comprimento e largura , ou seja, o retângulo é um quadrado com lados iguais a .

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