Calcular os limites infinitos: lim x -1 5 x+2|x+1|

Passo 1

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites infinitos e entender como a função se comporta perto desse ponto, especialmente considerando o valor absoluto no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando 5(-1) + 2 = -5 + 2 = -3 se aproxima de . Substituindo por no numerador:
No denominador, temos . Quando se aproxima de , se aproxima de , então também se aproxima de .

Passo 3

Sabemos que se o denominador de uma fração se aproxima de e o numerador é diferente de zero, o limite pode tender para ou , dependendo dos sinais do numerador e do denominador. Vamos verificar os sinais para determinar a direção do limite.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de conforme se aproxima de tanto pela direita ( ) quanto pela esquerda ( ).

Passo 5

  • Aproximando-se de |x + 1| = x + 1 0^+ pela direita ( 5x + 2 -3 ):
    -30^+ -infty
    O numerador:
    |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1 0^+
    Então, a fração:
    5x + 2 -3
  • Aproximando-se de -30^+ -infty pela esquerda ( ):
    O numerador:
    Então, a fração:

Passo 6

Como os limites laterais (pela direita e pela esquerda) são ambos iguais a , podemos concluir que o limite geral também é .

Resposta

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