Encontre os limites: lim (x, y) (0,0) x-y+2 raizx-2 raizyraizx-raizy

Passo 1

Então, temos que encontrar o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos usar algumas técnicas de álgebra e propriedades de limites em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração. Note que x - y = (raizx)^2 - (raizy)^2 = (raizx - raizy)(raizx + raizy) pode ser reescrito usando a diferença de quadrados, já que (raizx - raizy)(raizx + raizy) + 2(raizx - raizy) = (raizx - raizy)(raizx + raizy + 2) e . Assim:
Portanto, o numerador fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração inteira substituindo o numerador simplificado:
(raizx - raizy)(raizx + raizy + 2)raizx - raizy
Aqui, podemos cancelar raizx + raizy + 2 no numerador e no denominador, já que eles são diferentes de zero quando :

Passo 4

Com a expressão simplificada, agora calculamos o limite quando lim(x, y) (0,0) raizx + raizy + 2 = raiz0 + raiz0 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 :

Resposta

O limite é 2.

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