Considere que a função de onda para uma partícula quântica confinada no intervalo
seja dada por:
Qual é a probabilidade de encontrar a partícula nos seguintes intervalos:
?
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que trata de funções de onda na mecânica quântica. A questão nos dá a função de onda de uma partícula confinada no intervalo
:
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de encontrar a partícula em três intervalos específicos:
,
, e
. Para isso, precisamos:
- Normalizar a função de onda para determinar o valor de
. - Calcular as probabilidades em cada intervalo usando a função de onda normalizada.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo completo seja 1. Matemáticamente, isso significa que:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliado de 0 a 1:
Então, temos:
Passo 4
Agora que encontramos
, nossa função de onda normalizada é:
Para encontrar a probabilidade em um intervalo específico
, usamos:
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade para cada intervalo.
Intervalo
:
Usando a identidade
:
Integrando:
Intervalo
:
Usando a mesma identidade:
Integrando:
Sabendo que
e
:
Intervalo
:
Usando a identidade novamente:
Integrando:
Sabendo que
e
:
Resposta
As probabilidades de encontrar a partícula nos intervalos são:
-
: ou 50% -
: aproximadamente 0,818 (81,8%) -
: aproximadamente 0,341 (34,1%)
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Mostre que para uma sequência
,
se e somente se
.
Em geral, se então
. Dê exemplo de que não vale a recíproca, a menos que
.
Em geral, se
Determine se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(b)
(b)
Encontre os limites:
Calcular os limites infinitos: