Considere que a função de onda para uma partícula quântica confinada no intervalo seja dada por:
Qual é a probabilidade de encontrar a partícula nos seguintes intervalos: ?

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que trata de funções de onda na mecânica quântica. A questão nos dá a função de onda de uma partícula confinada no intervalo :
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de encontrar a partícula em três intervalos específicos: , , e . Para isso, precisamos:
  1. Normalizar a função de onda para determinar o valor de .
  2. Calcular as probabilidades em cada intervalo usando a função de onda normalizada.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo completo seja 1. Matemáticamente, isso significa que:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral:
Avaliado de 0 a 1:
Então, temos:

Passo 4

Agora que encontramos , nossa função de onda normalizada é:
Para encontrar a probabilidade em um intervalo específico , usamos:

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade para cada intervalo.

Intervalo :

Usando a identidade :
Integrando:

Intervalo :

Usando a mesma identidade:
Integrando:
Sabendo que e :

Intervalo :

Usando a identidade novamente:
Integrando:
Sabendo que e :

Resposta

As probabilidades de encontrar a partícula nos intervalos são:
  • : ou 50%
  • : aproximadamente 0,818 (81,8%)
  • : aproximadamente 0,341 (34,1%)

Exercícios relacionados

Mostre que para uma sequência ,
se e somente se .
Em geral, se então . Dê exemplo de que não vale a recíproca, a menos que .
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(b)
Encontre os limites:
Calcular os limites infinitos: