Considere que a função de onda para uma partícula quântica confinada no intervalo x in(0,1) seja dada por:
psi(x)=A sin (pi x)
Qual é a probabilidade de encontrar a partícula nos seguintes intervalos: 0 ?

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que trata de funções de onda na mecânica quântica. A questão nos dá a função de onda de uma partícula confinada no intervalo psi(x) = A sin(pi x) :
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de encontrar a partícula em três intervalos específicos: , , e . Para isso, precisamos:
  1. Normalizar a função de onda para determinar o valor de .
  2. Calcular as probabilidades em cada intervalo usando a função de onda normalizada.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo completo seja 1. Matemáticamente, isso significa que:
integral0^1 |psi(x)|^2 , dx = 1
Substituindo integral0^1 |A sin(pi x)|^2 , dx = 1 :
A^2 integral0^1 sin^2(pi x) , dx = 1
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral:
integral sin^2(pi x) , dx = x2 - sin(2pi x)4pi + C
Avaliado de 0 a 1:
[ 12 - sin(2pi)4pi ] - [ 0 - sin(0)4pi ] = 12
Então, temos:
A^2 cdot 12 = 1 implies A^2 = 2 implies A = raiz2

Passo 4

Agora que encontramos psi(x) = raiz2 sin(pi x) , nossa função de onda normalizada é:
P(a <= x <= b) = integrala^b |psi(x)|^2 , dx
Para encontrar a probabilidade em um intervalo específico , usamos:

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade para cada intervalo.

Intervalo P(0 < x < 12) = integral0^12 2 sin^2(pi x) , dx :

= 2 integral0^12 1 - cos(2pi x)2 , dx = integral0^12 (1 - cos(2pi x)) , dx
Usando a identidade = [ x - sin(2pi x)2pi ]0^12 = ( 12 - sin(pi)2pi ) - (0 - 0) = 12 :
P(14 < x < 34) = integral14^34 2 sin^2(pi x) , dx
Integrando:
= 2 cdot 12 integral14^34 (1 - cos(2pi x)) , dx = integral14^34 (1 - cos(2pi x)) , dx

Intervalo = [ x - sin(2pi x)2pi ]14^34 = ( 34 - sin(3pi2)2pi ) - ( 14 - sin(pi2)2pi ) :

= ( 34 - (-12pi) ) - ( 14 - 12pi ) = 12 + 1pi
Usando a mesma identidade:
P(12 < x < 34) = integral12^34 2 sin^2(pi x) , dx
Integrando:
= 2 cdot 12 integral12^34 (1 - cos(2pi x)) , dx = integral12^34 (1 - cos(2pi x)) , dx
Sabendo que = [ x - sin(2pi x)2pi ]12^34 = ( 34 - sin(3pi2)2pi ) - ( 12 - sin(pi)2pi ) e = ( 34 - (-12pi) ) - ( 12 - 0 ) = 14 + 12pi :

Intervalo :

Usando a identidade novamente:
Integrando:
Sabendo que e :

Resposta

As probabilidades de encontrar a partícula nos intervalos são:
  • : ou 50%
  • : aproximadamente 0,818 (81,8%)
  • : aproximadamente 0,341 (34,1%)

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