Calcular os limites seguintes: lim x 1 raiz[4]x-1raiz[6]x-1

Passo 1

Então, a gente tem o limite:
lim x 1 raiz[4]x-1raiz[6]x-1
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um tópico de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam funções de potências quando se aproxima de um valor específico, nesse caso, 1.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece quando substituímos raiz[4]1-1raiz[6]1-1 = 1-11-1 = 00 diretamente na expressão:
Isso é o que chamamos de forma indeterminada. Quando encontramos em um limite, precisamos de uma técnica para resolver. Uma dessas técnicas é a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite na forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Vamos derivar o numerador ddx raiz[n]x = 1n x^1n - 1 e o denominador ddx raiz[4]x = 14 x^-34:
A derivada de ddx raiz[6]x = 16 x^-56 é:
Aplicando isso:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas no lugar do numerador e denominador:
lim x 1 14 x^-3416 x^-56

Passo 6

Simplificando a fração:
1416 cdot x^-34x^-56 = 64 cdot x^-34 + 56
Vamos simplificar os expoentes:
-34 + 56 = -912 + 1012 = 112
Então, a expressão fica:
64 cdot x^112 = 32 cdot x^112

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando 32 cdot 1^112 = 32 cdot 1 = 32 se aproxima de 1:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados