Calcular os limites seguintes:
Passo 1
Então, a gente tem o limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um tópico de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam funções de potências quando
se aproxima de um valor específico, nesse caso, 1.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Isso é o que chamamos de forma indeterminada. Quando encontramos
em um limite, precisamos de uma técnica para resolver. Uma dessas técnicas é a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador.
Passo 4
Vamos derivar o numerador
e o denominador
:
A derivada de
é:
Aplicando isso:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas no lugar do numerador e denominador:
Passo 6
Simplificando a fração:
Vamos simplificar os expoentes:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 1:
Resposta
O limite é
.
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