Calcular os limites seguintes: lim x 0 3^x+4-81x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado com limites em cálculo, especificamente envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades das potências e entender como lidar com limites que envolvem exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 3^x+4 = 3^x cdot 3^4 . Usando a propriedade das potências que diz 3^x+4 = 3^x cdot 81 , temos:
Como , isso fica:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original do limite:
3^x+4 - 81x = 3^x cdot 81 - 81x
Podemos fatorar o 81 do numerador:
81(3^x - 1)x

Passo 4

O limite agora fica:
lim x 0 81(3^x -1)x = 81 cdot lim x 0 3^x -1x
Então, precisamos calcular .

Passo 5

Sabemos que, para qualquer base positiva limx to 0 a^x - 1x = ln a , o seguinte limite é igual ao logaritmo natural de lim x 0 3^x -1x = ln 3 :
No nosso caso, , então:

Resposta

O limite é igual a .

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