Calcular os limites seguintes:

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse problema está relacionado a limites de funções racionais, que são quocientes de polinômios. Para resolver, vamos precisar saber como simplificar expressões algébricas e fatorar polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite de forma simples:
Isso dá uma forma indefinida , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Quando encontramos , uma boa estratégia é fatorar o numerador e o denominador para ver se há fatores comuns que podem ser cancelados. Vamos fatorar os polinômios:
Numerador:
Agora, vamos fatorar . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :
Então, o numerador fica:
Denominador:
. Vamos fatorar esse polinômio também. Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :

Passo 4

Agora que fatoramos ambos, substituímos na expressão original:
Percebemos que o fator aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator (desde que , o que é válido para limites):

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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Verificar se a função definida por é contínua no ponto .