Calcular os limites seguintes: lim x 1 x^3-4 x^2-3 xx^2+3 x-4

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse problema está relacionado a limites de funções racionais, que são quocientes de polinômios. Para resolver, vamos precisar saber como simplificar expressões algébricas e fatorar polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^3 - 4 cdot 1^2 - 3 cdot 11^2 + 3 cdot 1 - 4 = 1 - 4 - 31 + 3 - 4 = -60 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite de forma simples:
Isso dá uma forma indefinida , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Quando encontramos x^2 - 4x - 3 = (x - 3)(x - 1) , uma boa estratégia é fatorar o numerador e o denominador para ver se há fatores comuns que podem ser cancelados. Vamos fatorar os polinômios:
Numerador:
x(x - 3)(x - 1)
Agora, vamos fatorar x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :
Então, o numerador fica:
Denominador:
. Vamos fatorar esse polinômio também. Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :

Passo 4

Agora que fatoramos ambos, substituímos na expressão original:
x(x - 3)(x - 1)(x + 4)(x - 1)
Percebemos que o fator x(x - 3)x + 4 aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator (desde que , o que é válido para limites):

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo 1(1 - 3)1 + 4 = 1 cdot (-2)5 = -25 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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