Calcular os seguintes limites: lim x 5 ln (x^3-3 x^2-30)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de ln(x^3 - 3x^2 - 30) quando x se aproxima de 5. Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções logarítmicas e polinômios. Para resolver isso, vamos primeiro entender o que acontece dentro do logaritmo quando x chega perto de 5.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da expressão dentro do logaritmo: limx 5 (x^3 - 3x^2 - 30). Para encontrar esse limite, podemos simplesmente substituir x por 5, já que todas as funções polinomiais são contínuas.

Passo 3

Substituindo x por 5 na expressão:
5^3 - 3 times 5^2 - 30 = 125 - 75 - 30 = 20
Então, limx 5 (x^3 - 3x^2 - 30) = 20.

Passo 4

Agora, sabemos que o logaritmo natural, ln(x), é uma função contínua para x > 0. Isso significa que podemos aplicar o limite diretamente à função logarítmica:
limx 5 ln(x^3 - 3x^2 - 30) = ln(limx 5 (x^3 - 3x^2 - 30))

Passo 5

Substituindo o valor que encontramos para o limite interno:
ln(limx 5 (x^3 - 3x^2 - 30)) = ln(20)

Resposta

O limite é ln(20).

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