Verificar se a função definida por é contínua no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função é contínua no ponto . A função está definida de três jeitos diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Basicamente, para ser contínua em , três condições precisam ser atendidas:
existe: Ou seja, a função está definida em .
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso para .
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se existe. Olhando a definição da função:
Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Como a função é definida de três formas, precisamos calcular o limite pela esquerda e pela direita.
Limite pela esquerda ():
Para :
Vamos simplificar essa expressão. O numerador pode ser fatorado:
Então:
Agora, calculamos o limite:
Passo 5
Limite pela direita ():
Para :
Calculamos o limite:
Passo 6
Agora, comparamos os limites. Vimos que:
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, o limite geral não existe.
Passo 7
Finalmente, como o limite de quando se aproxima de não existe, a terceira condição para continuidade não é satisfeita. Isso significa que a função não é contínua no ponto .