Verificar se a função definida por é contínua no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função é contínua no ponto . A função está definida de três jeitos diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Basicamente, para ser contínua em , três condições precisam ser atendidas:
  1. existe: Ou seja, a função está definida em .
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso para .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se existe. Olhando a definição da função:
Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Como a função é definida de três formas, precisamos calcular o limite pela esquerda e pela direita.
Limite pela esquerda ( ):
Para :
Vamos simplificar essa expressão. O numerador pode ser fatorado:
Então:
Agora, calculamos o limite:

Passo 5

Limite pela direita ( ):
Para :
Calculamos o limite:

Passo 6

Agora, comparamos os limites. Vimos que:
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, o limite geral não existe.

Passo 7

Finalmente, como o limite de quando se aproxima de não existe, a terceira condição para continuidade não é satisfeita. Isso significa que a função não é contínua no ponto .

Resposta

A função não é contínua no ponto .

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b.
Considere as seguintes possibilidades para uma função :
a. .