Calcular os seguintes limites: lim x +infty raizx^2+3 xraizx^2-x

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x +infty raizx^2+3 xraizx^2-x. Esse problema pertence ao estudo de limites no cálculo, mais especificamente ao limite de funções que envolvem raízes quadradas de polinômios. Para resolver, vamos precisar simplificar as expressões dentro das raízes e analisar o comportamento delas quando x tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que tanto no numerador quanto no denominador temos expressões dentro das raízes que são do tipo x^2 + termo de menor grau. Quando x tende ao infinito, os termos de menor grau se tornam irrelevantes em comparação com x^2.

Passo 3

Vamos fatorar x^2 de dentro das raízes:
raizx^2 + 3x = raizx^2(1 + 3x) = |x|raiz1 + 3x
raizx^2 - x = raizx^2(1 - 1x) = |x|raiz1 - 1x
Como estamos considerando x +infty, x é positivo, então |x| = x.

Passo 4

Substituindo essas expressões no limite original, temos:
lim x +infty xraiz1 + 3xxraiz1 - 1x = lim x +infty raiz1 + 3xraiz1 - 1x

Passo 5

Agora, vamos analisar os limites dentro das raízes:
lim x +infty (1 + 3x) = 1 e lim x +infty (1 - 1x) = 1
Então:
raiz1 + 3x raiz1 = 1 e raiz1 - 1x raiz1 = 1

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x +infty raizx^2+3 xraizx^2-x = 11 = 1

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