Calcular os limites utilizando os limites fundamentais.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado com limites fundamentais, que são as bases para calcular limites de funções mais complexas. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam funções exponenciais e trigonométricas perto do ponto onde
se aproxima de 3.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador para ver se conseguimos identificar uma forma indeterminada, como
. Calculando:
- Quando
, , então . - Também,
, e .
Então, temos uma forma
, que é uma situação onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular
.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
: A derivada de é e a derivada de é 0. Então, . - Derivada de
: Usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então, .
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Vamos substituir
nessa nova expressão:
-
-
, então -
Passo 5
Substituindo os valores:
Resposta
O limite é
.
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f)
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b)
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