Calcular os limites utilizando os limites fundamentais.
d) lim x 3 2^x-8sen(x^2-9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado com limites fundamentais, que são as bases para calcular limites de funções mais complexas. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam funções exponenciais e trigonométricas perto do ponto onde se aproxima de 3.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador para ver se conseguimos identificar uma forma indeterminada, como . Calculando:
  • Quando , , então .
  • Também, , e .
Então, temos uma forma , que é uma situação onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se resulta em ou , então podemos calcular .
Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de : A derivada de é e a derivada de é 0. Então, .
  • Derivada de : Usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então, .

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim x 3 2^x-8sin(x^2-9) = lim x 3 2^x ln 2cos(x^2 - 9) cdot 2x
Vamos substituir nessa nova expressão:
  • , então

Passo 5

Substituindo os valores:
8 ln 21 cdot 6 = 8 ln 26 = 4 ln 23

Resposta

O limite é .

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