lim x -2 8+x^84-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x -2 8+x^84-x^2. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites de funções. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar limites que resultam em formas indeterminadas e analisar o comportamento da função perto do ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x por -2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
8 + (-2)^84 - (-2)^2 = 8 + 2564 - 4 = 2640
Aqui, o denominador dá zero, o que indica que temos uma forma indeterminada ou um infinito. Então, precisamos analisar melhor o comportamento da função quando x se aproxima de -2.

Passo 3

Vamos investigar o sinal do denominador quando x se aproxima de -2. Considere valores próximos a -2:
  • Se x é um pouco menor que -2 (por exemplo, x = -2.1):
    4 - (-2.1)^2 = 4 - 4.41 = -0.41 (negativo)
  • Se x é um pouco maior que -2 (por exemplo, x = -1.9):
    4 - (-1.9)^2 = 4 - 3.61 = 0.39 (positivo)
Perceba que conforme x se aproxima de -2, o denominador 4 - x^2 se aproxima de zero. Dependendo do lado por onde estamos chegando, o denominador pode ser positivo ou negativo.

Passo 4

Agora, vamos analisar o numerador 8 + x^8. Como qualquer número real elevado a uma potência par resulta em um valor positivo, x^8 é sempre positivo. Portanto:
8 + x^8 > 8 (sempre positivo)
Isso significa que o numerador nunca é zero e sempre contribui com um valor positivo para a fração.

Passo 5

Combinando as informações:
  • Quando x se aproxima de -2 pela esquerda ( x to -2^-), o denominador é negativo e o numerador é positivo. Então, a fração 8 + x^84 - x^2 tende a -infty.
  • Quando x se aproxima de -2 pela direita ( x to -2^+), o denominador é positivo e o numerador é positivo. Então, a fração tende a +infty.

Passo 6

Como os limites laterais não são iguais (um tende a -infty e o outro a +infty), o limite geral não existe nos termos convencionais. Porém, se considerarmos que ambos os limites laterais estão se afastando para magnitudes infinitas, podemos afirmar que o limite tende a infinito, dependendo do contexto.

Resposta

O limite lim x -2 8+x^84-x^2 não existe, pois se aproxima de -infty pela esquerda e +infty pela direita.

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