lim x 0 x-11+x-raiz1-xx

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar os conceitos de limites e simplificação de expressões que envolvem frações e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador . Para facilitar, vamos simplificar cada parte separadamente.

Passo 3

Simplificando x-11+x = -(1 - x)1 + x = -1 - x1 + x :
-1 - x1 + x - raiz1 - x
Então, temos:

Passo 4

Agora, reescrevemos o numerador como:
-1 - x1 + x - raiz1 - x = -(1 - x1 + x + raiz1 - x)

Passo 5

Vamos buscar uma aproximação para raiz1 - x approx 1 - x2 quando -(1 - x1 + x + 1 - x2) é próximo de 0 usando a expansão de Taylor:
Então, substituindo:

Passo 6

Simplificando 1 - x1 + x approx 1 - 2x quando -(1 - 2x + 1 - x2) = -(2 - 5x2) está próximo de 0:
Então, temos:

Passo 7

Agora, dividimos pelo denominador -(2 - 5x2)x = -2 + 5x2x = -2x + 52 :
Quando aproxima de 0, o termo tende a infinito, mas vamos corrigir nosso método.

Passo 8

Vamos aplicar a regra de L’Hôpital porque ao substituir ddx(x-11+x - raiz1-x) = (1)(1+x) - (x-1)(1)(1+x)^2 - -12raiz1-x = 1 + x - x + 1(1+x)^2 + 12raiz1-x = 2(1+x)^2 + 12raiz1-x temos uma indeterminação do tipo ddx(x) = 1 .
Derivando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:

Passo 9

Aplicando a regra de L’Hôpital:
limx to 0 2(1+x)^2 + 12raiz1-x = 21^2 + 12raiz1-0 = 2 + 12 = 52

Resposta

O limite é .

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