Passo 1
Beleza! A gente vai resolver o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Vamos usar os conceitos de limites e simplificação de expressões que envolvem frações e radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador
. Para facilitar, vamos simplificar cada parte separadamente.
Passo 3
Simplificando
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, reescrevemos o numerador como:
Passo 5
Vamos buscar uma aproximação para
quando
é próximo de 0 usando a expansão de Taylor:
Então, substituindo:
Passo 6
Simplificando
quando
está próximo de 0:
Então, temos:
Passo 7
Agora, dividimos pelo denominador
:
Quando
aproxima de 0, o termo
tende a infinito, mas vamos corrigir nosso método.
Passo 8
Vamos aplicar a regra de L’Hôpital porque ao substituir
temos uma indeterminação do tipo
.
Derivando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Passo 9
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcular os limites utilizando os limites fundamentais.
d)
d)
Considere as funções
e
, determine: Domínio da