Calcular os limites utilizando os limites fundamentais.
e) lim x +infty(cos (x^2-1x^3-1) cdot(1+6x)^x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para calcular . Aqui estamos trabalhando com limites e vamos usar os limites fundamentais para resolver. Precisamos analisar cada parte dessa expressão separadamente para entender como elas se comportam quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro do cosseno: x^2-1x^3-1 approx x^2x^3 = 1x . Quando tende para o infinito, os termos de menor grau (-1) se tornam insignificantes comparados aos termos de maior grau. Então, podemos simplificar:

Passo 3

Agora, sabemos que limx +infty x^2-1x^3-1 = 0 tende para 0 quando vai para o infinito. Então, o argumento do cosseno está se aproximando de 0:

Passo 4

Sabemos que limx +infty cos(x^2-1x^3-1) = cos(0) = 1 . Além disso, como está se aproximando de 0, podemos afirmar que:

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda parte da expressão: . Esse tipo de expressão se assemelha à definição do número , onde .

Passo 6

Aplicando essa definição com limx +infty (1+6x)^x = e^6 , temos:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que analisamos:
limx +infty(cos (x^2-1x^3-1) cdot(1+6x)^x) = 1 cdot e^6 = e^6

Resposta

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