Mostrar que f(x) = (x^3 + 4x^2 + 4x) / ((x + 2)(x - 3)) tem g(x) = x + 5 como assíntota inclinada.

Passo 1

Beleza! Vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função racional e precisamos mostrar que ela tem uma assíntota inclinada, que é .
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de assíntotas oblíquas em funções racionais. Basicamente, uma assíntota inclinada ocorre quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador. Para encontrar a equação dessa assíntota, a gente faz a divisão polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função f(x). O denominador é , que quando multiplicamos dá . Então, temos:
Agora, vamos fazer a divisão polinomial do numerador pelo denominador para encontrar a assíntota.

Passo 3

Vamos dividir por .
  1. Primeiro termo: Dividimos x^3 por x^2, o que dá x.
  2. Multiplicamos: .
  3. Subtraímos:
  4. Segundo termo: Dividimos por x^2, que dá .
  5. Multiplicamos novamente: .
  6. Subtraímos novamente:
Então, a divisão resulta em:

Passo 4

Para encontrar a assíntota inclinada, a gente ignora a parte da fração que fica depois da divisão, porque quando x vai para mais ou menos infinito, essa fração se aproxima de zero. Então, a parte que sobra é , que é a equação da assíntota inclinada.

Resposta

A assíntota inclinada de f(x) é .

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